Kombinatorik

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Sven Auf diesen Beitrag antworten »
Kombinatorik
Abend zusammen,

habe eine Aufgabe, bei der ich jedoch Probleme mit er Lösung habe. Zur Aufgabe:


Für eine EDV Ausbildung einer Gruuppe von 4 weiblichen und 6 männlichen Polizeianwärtern steht ein Schulungsraum mit 12 Computerarbeitsplätzen zur Verfügung.

Die Arbeitsplätze sind in 3 Reihen zu je 4 Plätzen angeordnet. Auf wieviele verschiedene Arten können die Anwärter Platz nehmen, wenn in jeder Reihe mindestens eine Polizeianwärterin sitzen soll und nur nach dem Geschlecht unterschieden wird?


Mein falscher Lösungsansatz:


Die 3 Frauen können auf 3*4 Arten Platz nehmen, sodass jede in einer anderen Reihe sitzt. Übrig bleiben 9 Plätze, auf die sich die 6 männlichen Teilnehmer verteilen können. Dafür gibt es "9 über 6" Möglichkeiten. Nun muss noch die 4. Frau Platz nehmen. Es bleiben noch 3 Plätze. Die Frau hat also "3 über 1) Möglichkeiten.

Insgesammt gibt es also 3*4* (9 über 6) * (3 über 1) = 3024 solcher Sitzanordnungen.

Was habe ich nicht beachtet bzw. falsch gemacht???
Danke schonmal für die Antworten,

Sven
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Überleg nochmal, wie viele Möglichkeiten die ersten drei Frauen haben, um sich hinzusetzen.
AD Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kombinatorik
Zitat:
Original von Sven
Die 3 Frauen können auf 3*4 Arten Platz nehmen, sodass jede in einer anderen Reihe sitzt. Übrig bleiben 9 Plätze, auf die sich die 6 männlichen Teilnehmer verteilen können.

Es sind nicht 3, sondern 4 Frauen zu platzieren. Und dann bleiben nur 8 Plätze für die 6 Männer übrig.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die Kombinatorik hat es in sich. Svens Überlegung ist ja gar nicht übel - und dennoch ist sie falsch! Aber wie kann man in wenigen und verständlichen Worten erklären, wo der Fehler ist?

Vielleicht ist der Fehler am ehesten darin zu suchen, daß Sven die vier Frauen in seiner Überlegung zum Teil unterscheidet und zum Teil auch wieder nicht. Entweder also die Frauen unterscheiden (und anschließend die Unterscheidung per Division durch die Mehrfachzählungen rückgängig machen) oder die Frauen von vorneherein nicht unterscheiden.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Entweder also die Frauen unterscheiden (und anschließend die Unterscheidung per Division durch die Mehrfachzählungen rückgängig machen)

@Sven

Das scheint wohl tatsächlich dein Weg zu sein, aber den Klammerteil hast du nicht berücksichtigt. Außerdem ist das 3*4 in der ersten Zeile auch falsch, dort muss dann 4^3 stehen.
hummma Auf diesen Beitrag antworten »

Mich interessiert nur ob ichs richtig gerechnet hab, aber ich will keine Loesung vorgeben, wenn sie denn richtig ist.Also ich komm auf 13860 Moeglichkeiten. Stimmt das?
 
 
AD Auf diesen Beitrag antworten »

unglücklich
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich komme auf 8064 Möglichkeiten. Aber da macht man schnell irgendwo einen Denkfehler ...
Sven Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo zusammen, danke für die vielen ANtworten.


Also laut der Lösung stimmt dann auch die 8064 Möglichkeiten, so wie Leopold !!! Gerechnet folgendermaßen:

mögliche Belegung:

1. Reihe F F X X
2. Reihe F X X X
3. Reihe F X X X

Für Reihe 1 gibts (4 über 2) Möglichkeiten, die Frauen unterzubringen, für Reihe 2 und 3 jeweils 4.
Man kann die 2 Frauen aber auf 3 Reihen unterordnen.
ALso gibts (4 über 2) * 4 * 4 * 3 = 288 Möglichkeiten, die Frauen unterzuordnen.
Für die Männer bleiben noch 8 Plätze, auf die sich dann die 6 Männer verteilen können. ALso 28 Möglichkeiten, die Männer unterzubringen.

Insgesammt gibt es also 288 * 28 = 8064 Möglichkeiten.


Ich habe mittlerweile die Fehler in meinem Ansatz gefunden. Zum einen gibt es nicht 4*3 sondern 4^3 Möglichkeiten, die 3 Frauen unterzubringen. Dann habe ich aber Doppelkombinationen erhalten. Z.B. könnte folgender Fall eintreffen

Fall 1:

1.) die 3 Frauen verteilen sich auf 3 unterschiendliche Reihen

F X X X
F X X X
F X X X

2.)dann kommt zum Schluss der Rechnung ja noch die letzte Frau dazu. Also sieht die Sitzordnung der Frauen z.B. so aus:


F X X X
F X X X
F X X F

Folgender Fall wird bei meiner Rechnung als eine weitere Möglichkeit angesehen, ist aber genau die gleiche.

Fall 2:

1.) die 3 Frauen verteilen sich auf 3 unterschiendliche Reihen

F X X X
F X X X
X X X F

2.)dann kommt zum Schluss der Rechnung ja noch die letzte Frau dazu. Also sieht die Sitzordnung der Frauen z.B. so aus:

F X X X
F X X X
F X X F

Ich hoffe, ihr wisst was ich meine.

Nur mich würde jetzt auch interessieren, wie mein Lösungsansatz zum Ziel kommt, also wie ich die Doppelkombinationen rausrechne.

@Leopold: Wie hast du gerechnet???


Danke an alle für die Mühe,

Sven
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Alles richtig, die 8064 und auch der Weg dahin.

Und deinen ersten Weg kannst du so retten, wie es Leopold angedeutet hat: Die vierte Frau platzierst du in einer Reihe, wo dann insgesamt zwei Frauen sitzen. Nach deinem Weg unterscheidest du zwischen dieser "vierten" Frau und der anderen in der Reihe, was du aber nicht solltest. Somit musst du die Gesamtanzahl aller Sitzverteilungen durch die Permutationsanzahl dieser 2 Frauen, also 2!=2, dividieren. Und damit kommst du auch auf die 8064. Wink
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe so gerechnet wie in deiner Musterlösung. Und dein Vorgehen, den Denkfehler zu finden, ist genau das richtige! Sich klarmachen, wie man bei der (falschen) Zählmethode dieselbe Struktur auf verschiedene Weisen erhält.
Sven Auf diesen Beitrag antworten »

@ Arthur:
@ Leopold


danke für die wichtigen Vorgehensweisen. Jetzt ist mir es klar geworden wo mein Fehler lag und ich kann andere Aufgaben umso besser lösen bzw. den Fehler finden um ihn dann zu korrigieren Augenzwinkern
Sven Auf diesen Beitrag antworten »
Frage
tag zusammen.

eine Frage hab ich dannnoch

wie würde man die aufgabe am einfachsten rechnen, wenn zwsicshen den frauen unterschieden werden soll. Richtig wäre ja, das Ergebnis mit 4! zu multiplizieren, da die Frauen auf soviele Arten permuterien können.

Nur wie gehts von Anfang an leichter???


mfg

Sven

Ich beziehe mich auf


Kombinatorik


edit (AD): Ist klar, ich habe beide Themen zusammengefügt.
AD Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage
Ich kann nicht erkennen, dass das von Anfang an dann irgendwie leichter vonstatten gehen kann.

Z.B. wäre folgende Idee ein Trugschluss: Erst die Frauen 1, 2 und 3 auf drei verschiedene Reihen verteilen, und ganz zum Abschluss Frau 4.

Dann wäre Frau 4 immer in einer Reihe mit einer anderen Frau, solche Varianten wie

12xx
xx4x
x3xx

hätte man dann vergessen.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

auch hier gilt:
der reihe nach: 2 von 4 frauen auswählen, die zusammen sitzen (4 über 2)
danach die beiden anderen verteilen, gibt 12 plätze für die erste, 8 für die zweite
dann insgesamt noch 4*3=12 plätze für die dritte
danach wie gehabt die männer verteilen

genau so ähnlich (schönes sinnfreies wortkonstrukt Augenzwinkern ) bin ich das gestern angegangen und bin gleich auf die 8000 ungrad gekommen.
bisschen abwandeln und voila

mfg jochen
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage
Zitat:
Original von Sven
wie würde man die aufgabe am einfachsten rechnen, wenn zwsicshen den frauen unterschieden werden soll.


Man könnte es wie folgt machen - aber ich behaupte nicht, daß das eine gute Lösung ist! Man wird wohl Arthur zustimmen müssen:

Zitat:
Original von Arthur Dent
Ich kann nicht erkennen, dass das von Anfang an dann irgendwie leichter vonstatten gehen kann.


Wir unterscheiden die 4 Frauen: Anja, Bianca, Carolin, Daniela.
Die Männer beachten wir erst einmal gar nicht und lassen die Frauen Platz nehmen.

Anja beginnt: Sie kann sich auf 12 freie Plätze setzen.
Bianca folgt. Sie soll eine neue Reihe aufmachen: Ihr stehen also 8 Plätze zur freien Auswahl.
Jetzt ist Carolin an der Reihe. Auch sie soll in einer neuen Reihe Platz nehmen: 4 mögliche Plätze.
Drei der zwölf Plätze sind jetzt schon belegt. Daniela sucht sich irgendeinen der 9 freien Plätze aus.

Das wären insgesamt 12·8·4·9 Möglichkeiten.

Hierbei spielt Daniela eine Sonderrolle. Denn sie sitzt auf jeden Fall mit einer weiteren Frau in einer Reihe, während jede der drei anderen Damen bei dem Wahlverfahren auch alleine sitzen könnte. Diese Sonderrolle kann nun nicht nur Daniela einnehmen, sondern auch jede andere der Damen. Also ist die obige Anzahl noch mit 4 zu multiplizieren.

Das wären insgesamt 12·8·4·9·4 Möglichkeiten.

Aber jetzt kommen Doppelzählungen vor. Nehmen wir einmal an, Anja und Bianca sitzen in einer Reihe. Diese Sitzwahl kann entstanden sein, wenn Anja die Sonderrolle spielte, ebenso wie wenn Bianca dies tat. Man muß also die obige Anzahl noch durch 2 teilen.

Das wären insgesamt (12·8·4·9·4):2 Möglichkeiten.

Diese letzte Zahl gibt alle Sitzmöglichkeiten der vier Frauen an, wenn die Personen unterschieden werden. Da nun aber Permutationen der vier Frauen nicht unterschieden werden sollen, solange nur die eingenommenen Frauenplätze dieselben sind, ist die obige Zahl noch durch 4! zu teilen, um schließlich die Anzahl der Möglichkeiten bei Nichtunterscheidung der Frauen zu finden.

Das wären insgesamt (12·8·4·9·4) : (2·4!) Möglichkeiten.

Und jetzt noch die Männer berücksichtigen. Aber die stellen hier wohl das geringere Problem dar.
sve Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

danke für die Antworten.


Leopold, sehr einleuchtender Vorschlag. Ich werde ihn morgen durchgehen und mich bei auftauchenden Fragen (wenn ich also nicht zum Ergebnis komme), melden.


dake nochmal an alle die geholfen haben !!!!
Sven Auf diesen Beitrag antworten »

Frage: Du sagst:


Diese Sonderrolle kann nun nicht nur Daniela einnehmen, sondern auch jede andere der Damen. Also ist die obige Anzahl noch mit 4 zu multiplizieren.




aber insgesammt ist die Rolle der Personen doch zu tauschen. So kann jeder als erstes, jeder als zweites, jeder als drittes und jeder als viertes Platz nehmen. Muss demnach nicht mit 4! multipliziert werden????


Danke,


Sven
Sven Auf diesen Beitrag antworten »

hm mmmmmmmmmm
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Sven
hm mmmmmmmmmm


hast du eigentlich schon mal was von geduld gehört?

siehe userguide
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LOED
hast du eigentlich schon mal was von geduld gehört?


Und du von Nachsicht? Augenzwinkern



@ Sven

In meinen Multiplikationen sind diese Permutationen schon inbegriffen. Immer wenn man das Multiplikationsprinzip divisionsfrei anwendet, sind Vertauschungen schon berücksichtigt.
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