Vektoren und Matrizen: Aufgabe

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schmouk Auf diesen Beitrag antworten »
Vektoren und Matrizen: Aufgabe
Hallo.

Ich habe hier folgende Aufgabe:

Ein Turm besteht aus einem quderförmigen Grundbau mit einem Spitzdach in Form einer geraden, quadratischen Pyramide, In der Skizze (Anhang) finden Sie ein Schrägbild des Turmes.
Der Turm erzeugt auf dem (horizontalen) Boden einen Schatten.

a) irrelevant

b) Durch wird eine Abbildung Alpha des Raumes festgelegt.

Untersuchen Sie, welche Vektoren bei der Abbildung Alpha fest bleiben und welche Geraden nicht wieder auf Geraden abgebildet werden.
Interpretieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang. Beschreiben Sie insbesondere die Richtung der Sonnenstrahlen.

Wie ich die Richtung beschreiben soll, verstehe ich schon mal nicht. Also Mathematisch. "von schräg oben" wir wohl nicht reichen.

Rechnerisch ist der Vektor fest, wenn .

Geraden werden nicht wieder auf Geraden (sondern auf Punkte abgebildet, wenn , und .


Das stimmt denk ich.

Aber nun zu obigem Problem.

Und dann zum Nächsten:

c) Der Sonnenstand wird wie in Teilaufgabe b) vorausgesetzt. Im Punkt T(4|10|2,6) ist ein Temperaturfühler angebracht.
Untersuchen Sie, ob der Temperaturfühler noch im Schatten des Turmes liegt.

da x_3 ungleich 0, würde ich sagen ist der Vektor/Punkt einer von den "Geraden die auf einen Punkt abgebildet" (Ich weiß, die Nomenklatur passt nicht). Und ich denke das bedeutet, das sind die Sonnenstrahlen, die am turm bei diesem Sonnenstand hängen bleiben, als einen Schatten werfen: heißt, T liegt im Schatten.

Sehe ich das richtig? Was für eine merkwürdige Aufgabe. Dienstag Abi. Juchu.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektoren und Matrizen: Aufgabe
Zitat:
Original von schmouk
...
Beschreiben Sie insbesondere die Richtung der Sonnenstrahlen.

Wie ich die Richtung beschreiben soll, verstehe ich schon mal nicht. Also Mathematisch. "von schräg oben" wir wohl nicht reichen.
...


Das reicht wiklich nicht. Aber es ist leicht, den Vektor zu bestimmen, der die Richtung vorgibt, dies in Kürze:

Urpunkt: -> Bildpunkt . Die Richtung gibt der Vektor



vor, diesen kann man durch Division durch zu


abkürzen.

mY+
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Wie Sonnenstrahlen am Turm "hängenbleiben"*, ist mir zwar nicht geläufig, aber du könntest z.B. durch den Punkt T die Gerade mit dem o.a. erkannten "Lichtrichtungsvektor" legen und nachsehen, ob diese irgendeinen Teil des im Eigenschatten (!) liegenden Gebäudes schneidet.

Ein produktiverer und im Sinne der darstellenden Geometrie exakter Weg ist jener, den Schlagschatten des Gebäudes und jenen (T') des Temperaturfühlers T auf die x-y - Ebene zu ermitteln. Liegt T' innerhalb des Schlagschattens, liegt auch T im Schatten des Gebäudes.

mY+

*offensichtlich meinst du damit den Fall, dass die Lichtstrahlrichtung zufällig in einer der Flächen oder Kanten des Gebäudes liegt.

Hinweis:
Die "optische" Entscheidung ist hier infolge der kniffligen Angabe nicht zu treffen, weil der Schatten (T') von T ziemlich nahe an der Schlagschattengrenze zu liegen scheint. Somit muss noch eine rechnerische Untersuchung Klarheit darüber geben.
schmouk Auf diesen Beitrag antworten »

So darüber musst ich erstmal brüten.
Eigentlich sollt ichs aus Zeitgründen dabei belassen was ich verstanden habe. Aber es quält mich Augenzwinkern

Ein Teil der Aufgabe war ja

Zitat:
Untersuchen Sie, welche Vektoren bei der Abbildung Alpha fest bleiben und welche Geraden nicht wieder auf Geraden abgebildet werden.


So nun ist es ja so, das sich Urpunkte, die sich nach folgendem Schema bilden:

x_3=x_3, x_2=-x_3 und x_1=-1/2 * x_3

auf den Nullvektor abgebildet werden.

Das bedeutet doch, wenn ich dich richtig verstanden habe: X wird auf X' abgebildet und Vektor XX' ist im Falle eines Sonnenstrals der Richtungsvektor der Geraden.

Wenn, die x_3 Koordinate des Urpunktes 0 ist, wird der Vektor auf die x-y-Ebene projeziert und XX' ergibt zwangweise den von dir genannten Vektor 1/2/-2.

Wenn er aber dem o.g. Schema folgt, wird die geradengleichung des Sonnenstahls doch so aussehen:





da aber
ist



Deshalb meine ich, dass alle Punkte, die in dieses Schema passen, keinen Schatten werfen.
Deshalb brauch ich nur gucken, ob T nicht ins Schema passt. Wenn das der Fall ist, wird T' auf x-y-Ebene projeziert und liegt im Schatten?

Oder hat das nichts damit zu tun?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Im Prinzip hatten wir das ja schon, alle Raumpunkte mit x3 = 0 werden in den Nullpunkt abgebildet. Deshalb wird für alle Punkte mit x3 ungleich Null die Abbildung mittels des o.a. Lichtstrahlvektors durchzuführen sein.

Die Geraden, die die Lichtstrahlen beschreiben, haben alle die Gleichungsform



und das gilt selbstverständlich auch für die Punkte T und T', wobei T nicht in der x1-x2 - Ebene liegt, bzw. für die Strecke TT', die auf dem Lichtstrahl liegt.

Damit kannst du z.B. den Schatten der Spitze mit S'(9; 15; 0) oder den des Temperaturfühlers mit T'(5.3; 12.6; 0) berechnen.

Deine diesbezüglichen Erläuterungen (T, T') sind für mich nicht nur nicht nachvollziehbar, sondern erscheinen auch falsch.

Welche Vektoren bei dieser Abbildung in sich übergeführt werden, ist ja auch nicht schwer zu erraten, es werden jene sein, die genau in der Lichtstrahlenrichtung liegen. Man nennt diese Lage dann projizierend, weil in der Projektionsrichtung liegend; deren Schatten ist dann ein Punkt.

Du solltest so vorgehen, wie bereits vorgeschlagen und die von mir vervollständigte Grafik sollte dir eigentlich eine gute Hilfe dazu sein. Dies scheint im Moment gänzlich an dir vorbeigegangen zu sein.

mY+
schmouk Auf diesen Beitrag antworten »

'schuldige wenn ich da so respektlos einfach drüber hinweggegangen bin:

Die Bearbeitung des Bildes ist wirklich großartig. Hast du das manuell, oder mit eine Software gemacht?


Dass du die Abbildungsvorschrift auf den 1/2/-2 Vektor verkürzt ist mir auch nicht entgangen, nur muss es doch (wie du ja schon andeutest) einen eleganteren Weg geben, als den Punkt T' mit hilfe des bekannten Verfahrens zu bestimmen und dann zu gucken, ob er im schattierten Bereich liegt.

Und da hab ich eben so eine Ahnung, dass die Menge der Schattenpunkte einer dieser beiden Fälle ist:

Zitat:
Untersuchen Sie, welche Vektoren bei der Abbildung Alpha fest bleiben und welche Geraden nicht wieder auf Geraden abgebildet werden.


Ist das nicht so?

Zitat:
Interpretieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang. Beschreiben Sie insbesondere die Richtung der Sonnenstrahlen.


Wir würde die Interpretation denn sonst lauten? Oder habe ich einen Nagel im Kopf?
 
 
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