Satz von Abel-Ruffini (Betrifft Lösbarkeit von Gleichungen mit dem Grad >4)

12.10.2005, 20:38	ThomasD	Auf diesen Beitrag antworten »
Satz von Abel-Ruffini (Betrifft Lösbarkeit von Gleichungen mit dem Grad >4) Hallo! Ich bin gerade damit beschäftigt, an meiner Facharbeit im LK Mathematik zu feilen. Dafür bin ich gerade dabei, zu versuchen, die Beweise, die die Unlösbarkeit von allgemeinen Gleichungen 5. und höheren Grades durch Radikale betreffen, zu verstehen... Derzeit beschränke ich mich jedoch auf die Ansätze von Ruffini. Ich arbeite hierfür vor allem mit dem Buch "Algebra für Einsteiger" von J. Bewersdorff. Dazu eine Frage: Auf S. 53ff. des erwähnten Buches wird Ruffinis Beweisansatz beschrieben. Er beruhe auf diesem Satz: SATZ: Gegeben ist ein Polynom g(x1,...,x5) in den Variablen x1,...,x5 und die daraus gebildete m-te Potenz f(x1,...,x5) = [g(x1,...,x5)]^m, wobei m eine natürliche Zahl ist. Erfüllt nun das Polynom f bezüglich der Vertauschung der Variablen x1,...,x5 die Identitäten f(x1,x2,x3,x4,x5) = f(x2,x3,x1,x4,x5) = f(x1,x2,x4,x5,x3) so gelten die entsprechenden Identitäten auch für das Polynom g. Im Folgenden wird dieser Satz dann bewiesen, wobei mir dieser Beweis im Prinzip einleuchtet. Allerdings ist mir dann nicht ganz klar, wie man davon dann zum Ziel kommt. Im Buch wird es so beschrieben (sinngemäß): "Nach Lagrange geht es bei der Auflösung einer solchen allgemeinen Gleichung darum, ausgehend von den elementarsymmetrischen Polynomen [also die, die sich über den Vieta-Wurzelsatz ergeben] schrittweise Polynome g1,g2,... in den Variablen x1,x2,... dadurch zu bestimmen, dass für jedes einzelne von ihnen eine Potenz gefunden wird, die aus bereits in vorangegangenen Schritten bestimmten Polynomen mittels der vier Grundrechenarten bestimmt werden kann. Der j-te Schritt hat also die Gestalt gj(x1,x2,...)^mj = fj(x1,x2,...), [Anm.: Das j steht jew. im Index, wie auch die Ziffern 1 und 2] wobei die Funktion fj nur auf Basis der elementarsymm. Polynome g1,g2,...,g(j-1) gebildet ist. Besitzt die geg. allg. Gleichung einen Grad von 5 oder höher, so lässt sich Ruffinis Argument dahingehend anwenden, dass jedes Polynom gj die Eigenschaft gj(x1,x2,x3,x4,x5) = gj(x2,x3,x1,x4,x5) = gj(x1,x2,x4,x5,x3) erfüllen muss. Keiner der Schritte kann daher zu einem dem letzten Auflösungsschritt entsprechenden Polynom wie z.B. gj(x1,x2,...) = x1 führen." (Zitat ende) Wie gesagt, ich stehe nun vor der Frage: Was hat denn der obige Satz genau damit zu tun, und überhaupt, wie die zitierte Folgerung genau zu verstehen ist. Es wäre echt toll, wenn sich jemand die Mühe macht, und mir das ganze vielleicht etwas erläutert, bzw. in eigenen Worten nahebringt... Danke schonmal! mfg Thomas P.S.: Falls noch jemand weitere Schriften/Quellen kennt, wo Ruffinis, Abels und evtl. auch Galois' Ansätze zu diesem Thema leicht verständlich [;-)] dargelegt sind, würde ich mich sehr freuen. Für alle Fälle meine Mailadresse: edit: Mailadresse wegeditiert, Hilfe bitte nur im Board geben! (MSS)
12.10.2005, 21:07	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
lol Komischerweise war ich in einem Mathecamp in der Gruppe, die genau dieses Thema behandelte. Wir haben es allerdings anders gemacht als es in deinem Zitat angedeutet wird. Hier gibt es eine Zusammenfassung davon. Leider haben wir alles reingetan, nur keine Beweise für die Zwischenergebnisse (was ich befürwortet hätte). Gruß MSS
12.10.2005, 21:22	ThomasD	Auf diesen Beitrag antworten »
Auf diese Zusammenfassung bin ich auch gestern Abend gestoßen :0 Und ich habe mir auch gedacht, dass man das noch hätte ausbauen können... Also ehrlich gesagt, ist jene ZUsammenfassung für mich auch nach genauerem Durchlesen noch nicht ganz verständlich. Eure Methode ist der vollständige Beweis für das besagte Problem, den Abel erbracht hatte, und zwar unabhängig von den Ansätzen Ruffinis, auf die ich mich beziehe. Trotzdem fasst man das unter Abel-Ruffini zusammen, obwohl es gewisse Unterschiede gibt/geben soll. Ferner ist Ruffinis Beweis streng genommen noch lückenhaft, da er teilweise von nicht bewiesenen Grundlagen ausgeht. Abel hat die Löcher aber dann gestopft.
12.10.2005, 23:11	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab noch vieles zu Hause in schriftlicher Form da und ein paar Sachen auch noch im Kopf. Mit etwas Reinlesen könnte ich da sicher noch etwas helfen. Du müsstest nur fragen! Gruß MSS
13.10.2005, 16:57	ThomasD	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! Ja, das wäre nicht schlecht Ich werde mir die Sache nochmal zu Gemüte führen, und dann ggf. fragen

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