kürzester euklidischer Abstand Punkt - Kurve

01.04.2004, 11:56	newbie	Auf diesen Beitrag antworten »
kürzester euklidischer Abstand Punkt - Kurve Hallo, weiß jemand, wie man den kürzesten Abstand eines Punktes von einer Kurve berechnet ? Danke für Eure Antworten ! Gruss G
01.04.2004, 23:21	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi! Wenn man im gesuchten Punkt T(x0\|f(x0)) der Kurve die Tangente an die Kurve legt und darauf die Normale in diesem Punkt, so geht diese durch den gegebenen Punkt P(p1\|p2). Somit ist der kürzeste Abstand eines Punktes P von einer Kurve die Distanz des Punktes P zum Schnittpunkt T der Normalen durch diesen Punkt auf die Kurve. Wir bilden daher die 1. Ableitungsfunktion der Kurve f(x), das ist allgemein die Steigung m der Tangente: m = f '(x), im gesuchten Punkt T lautet sie -1/f '(x0) Die Steigung der Normalen ist dann - 1/f'(x). Wir berechnen nun den Punkt T(x0\|f(x0)) der Kurve, für den die Normale durch den gegebenen Punkt P(p1\|p2) geht. Normale durch P, Steigung -1/f '(x0): *y - p2 = -[1/(f '(x0))] (x - p1) Da auf dieser Normalen auch T legen muss, erhalten wir für x0 die Gleichung f(x0) - p2 = -[1/(f '(x0))] * (x0 - p1)** woraus x0 und in der Folge auch f(x0) zu berechnen ist. Gr mYthos
02.04.2004, 01:37	marc	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo mYthos, diese Vorgehensweise scheitert aber, wenn an der Stelle p1 (das ist die x-Koordinate des Punktes P(p1\|p2)) eine horizontale Tangente liegt. Diese Stellen (mit horizontaler Tangente) müßte man dann gesondert betrachten. Ich schlage stattdessen vor, eine Abstandsfunktion d zu definieren, die für jede Stelle x den Abstand von P(p1\|p2) und Q(x\|f(x)) liefert: (Nach dem Satz des Pythagoras): d^2 = (x-p1)^2 + (f(x)-p2)^2 => d = wurzel(...) Von dieser Funktion ist nun das Minimum gesucht, das man mit Hilfe der Kurvendiskussion finden kann. Wer sich Ableitungsarbeit sparen will, kann statt nach dem Minimum von d nach dem Minumum von d^2 suchen -- die Extremstellen von d und d^2 liegen wegen der Monotonie von x^2 an denselben Stellen. --Marc
02.04.2004, 02:13	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi! Die Abstandsfunktion ist sehr praktikabel, wenn man die Ansatzfunktion entsprechend vereinfacht, also statt d mit der Wurzel das Quadrat d² betrachtet. Die Vorgehensweise mit der Normalen führt im Endeffekt auf genau die gleiche Beziehung wie die, die - einfacher - errechnet wurde, wenn man statt der Wurzel das Quadrat ableitet. Der Fall: Bei p1 hat f(x) ein relatives Extremum führt sofort auf x0 = p1, sodass damit praktisch die Rechnung schon erledigt ist. Das von mir angegebene Ergebnis f(x0) - p2 = -[1/(f '(x0))] * (x0 - p1) kann noch zu f(x0)f '(x0) - p2f '(x0) + x0 - p1 = 0 weitergeführt werden. Denselben Term erhält man, wenn die Ableitung von d² gleich Null gesetzt wird: d² = d(x) = (x - p1)² + (f(x) - p2)² ->> d'(x) = 2(x - p1) + 2(f(x) - p2)f '(x) = 0 \|:2 (f(x) - p2)f '(x) + x - p1 = 0** Schlussendlich ist Marc's letzterer Weg (mit der Abstandsfunktion) praktischer und eleganter und daher zu bevorzugen! Gr mYthos
02.04.2004, 02:33	marc	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo mYthos und newbie, super, damit hat mYthos gezeigt, dass die kürzesten Abstände gerade auf den Normalen zu der Kurve liegen -- ich jedenfalls mußte anfangs kurz darüber nachdenken, weil mit das nicht so klar war. Erwähnen wollte ich noch, dass bei beiden Lösungswegen mehrere Lösungen der Gleichungen entstehen können, so dass unter diesen noch diejenige mit dem kleinsten Abstand ermittelt werden muß (wer sich da an die eigentlich Aufgabenstellung erinnert fühlt: Der Unterschied zur eigentlichen Aufgabenstellung ist hier, dass vorher von unendlich vielen Punkten derjenige mit dem kleinsten Abstand gesucht war, und jetzt nur noch von endlich vielen (genauer vielleicht: vorher waren es überabzählbar viele und jetzt nur noch abzählbar viele) Umgangssprachlich: jetzt sind es einfach weniger Punkte) Die Zusammenführung der Lösungswege hat mir gefallen :] Alles Gute, Marc
02.04.2004, 11:58	newbie	Auf diesen Beitrag antworten »
hi, ja, das ist alles sehr klar und verständlich. Danke !
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