Lineare Abbildung

12.04.2008, 07:41

DerHandwerk

Lineare Abbildung

Hallo,

ich sitze hier im Moment an einer Aufgabe, wo nicht ganz verstehe was ich dort vor mir habe.

Aufgabe: Es sein $\begin{eqnarray*} M:=\{a, b, c, d,e \} \end{eqnarray*}$ eine Menge mit 5 Elementen und V sei die menge aller Abbildungen von V nach $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_7 \end{eqnarray*}$ .

a) Wie viele Elemente besitzt die Menge V?

b) Beschreiben Sie, wie man V auf eine möglichst natürliche Art als Vektorraum über $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_7 \end{eqnarray*}$ darstellen kann.

c) Welche Dimension hat der Vektorraum V?

d) Formulieren Sie eine Verallgemeinerung der Aussagen, die Sie in a) - c) gemacht haben.

Mein Problem ist dass ich mir nicht vorstellen kann wie diese Abbildung funktioniert, ich weis nur dass sie auf die Werte von 0 bis 6 abbildet, aber das hilft mir im Moment nicht weiter.

12.04.2008, 09:52

tigerbine

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Tippfehler?

Zitat:

Aufgabe: Es sein M eine Menge mit 5 Elementen und V sei die Menge aller Abbildungen von V nach $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_7 \end{eqnarray*}$ .

Sollte da nicht M stehen? verwirrt

12.04.2008, 10:50

Leopold

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So ist es wohl.

@ DerHandwerk

Eine Abbildung von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_7 \end{eqnarray*}$ kannst du dir einfach durch eine Wertetabelle vorgeben (die Zahlen stehen für Restklassen modulo 7). Zwei Beispiele:

$\begin{eqnarray*} u: \ \ \begin{matrix} a & b & c & d & e \\ 2 & 6 & 2 & 2 & 3 \end{matrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v: \ \ \begin{matrix} a & b & c & d & e \\ 1 & 0 & 5 & 3 & 0 \end{matrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u,v \end{eqnarray*}$ sind Abbildungen, also z.B. $\begin{eqnarray*} u(c) = 2, \, v(d) = 3 \end{eqnarray*}$ laut Wertetabelle. Jetzt sollst du "auf möglichst einfache Weise" definieren, wie man solche Abbildungen "addiert" und mit einem Element von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_7 \end{eqnarray*}$ "skalar multipliziert". Da Abbildungen festliegen, sobald ihre Wirkung auf jedem Element des Definitionsbereichs feststeht (hier also $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ ), mußt du also definieren, was man unter

$\begin{eqnarray*} (u+v)(x) \, , \ \ (\lambda u)(x) \end{eqnarray*}$

verstehen soll. Hierbei ist $\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb{Z}_7 \end{eqnarray*}$ ein Skalar. Und wenn du das definiert hast, sollst du nachweisen, daß die Menge

$\begin{eqnarray*} V = \{ u,v,w,\ldots \} \end{eqnarray*}$

dieser Abbildungen mit den von dir festgelegten Operationen einen Vektorraum über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_7 \end{eqnarray*}$ bildet.

12.04.2008, 10:54

therisen

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RE: Lineare Abbildung

Zitat:

Original von DerHandwerk
Mein Problem ist dass ich mir nicht vorstellen kann wie diese Abbildung funktioniert, ich weis nur dass sie auf die Werte von 0 bis 6 abbildet, aber das hilft mir im Moment nicht weiter.

Ja, das genügt doch.

a) ist einfachste Kombinatorik
b) definiere eine natürliche Skalarmultiplikation
c) dafür brauchst du b)
d) wird dir klar sein, wenn du a)-c) gelöst hast.

EDIT: Zu langsam unglücklich

12.04.2008, 19:22

DerHandwerk

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Hallo,

schon mal vielen Dank für die nette Hilfe!
Ich hatte heut recht viel zu tun deshalb kann ich erst jetzt reagieren.

Ich würde die Aufgaben nun wie folg beantworten:

a) V enthält genau $\begin{eqnarray*} 7^5 \end{eqnarray*}$ Element da ich alle 5 Element auf je 7 Elemente abbilden kann.

b) V ist ein Vektorraum wenn gilt:

$\begin{eqnarray*} a,b \in V \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s \in \mathbb Z_7 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (a+b) \in V \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (s \cdot a) \in V \end{eqnarray*}$

also:
$\begin{eqnarray*} f(x) = x mod 7 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} V = \{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4\\ x_4\end{pmatrix} \mid \text{mit} x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 \in \mathbb Z_7 \} \end{eqnarray*}$

Das bedeutet jetzt für die Addition:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4\\ x_5\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4\\ y_5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (x_1 + y_1) mod 7 \\(x_2 + y_2) mod 7 \\ (x_3 + y_3) mod 7 \\ (x_4 + y_4) mod 7\\ (x_5 + y_5) mod 7\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und für die Multiplikation entsprechend:
$\begin{eqnarray*} s \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4\\ x_5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (sx_1) mod 7 \\(sx_2) mod 7 \\ (sx_3) mod 7 \\ (sx_4) mod 7\\ (sx_5) mod 7\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

V ist somit bezüglich Addiont und Multiplikation abgeschlossen und deshalb ein Vektorraum.

c) Die Dimension von V ist 5, da M auch 5 Elemente beinhaltet.

Ich hoffe ich hab es mir da jetzt nicht zu einfach gemacht.

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