Integralaufgabe

13.10.2005, 16:51

Fabian

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Integralaufgabe

huhu komme bei einer Aufgabe wider mal nicht weiter... habe alle möglichen sachen probiert aber irgendwie hat nichts so recht zum erfolg geführt.

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\sqrt{e-1}}~x*ln(x^2+1)~dx \end{eqnarray*}$

wie muss ich hier vorgehen?

substituieren oder produktintegration... also ich habe jetzt gedacht gehabt substitution mit $\begin{eqnarray*} g(x)=ln(x^2+1) \end{eqnarray*}$
aber des funzt net so wirklich... könnt ihr mir sagen wie ich hier vorgehen muss? Danke im Vorraus.

edit: vll. nur mit x^2+1 substituieren? hmm mal ausprobieren smile

smile

13.10.2005, 17:04

Lazarus

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könntest hier partielle integration anwenden oder subtituieren ... u = x^2 würd da schon reichen Augenzwinkern

Augenzwinkern

//edit: bei der subtitution muss man später dann eh nochmal u+1 substituieren ...
also nix gewonnen unglücklich

unglücklich

13.10.2005, 17:07

brunsi

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mach es mal mit partieller Substitution. das müsste funktionieren. muss das selbst noch mal durchrechnen. evtl. ist es morgen abend im Analysis Verzeichnis unter unbestimmte Integrale zu finden. aber verlasse dich nicht drauf. rechne selbst!! Willkommen

Willkommen

Wink

dennis

13.10.2005, 17:13

Fabian

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noch eine Frage:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~ln(x^2+1)~dx \end{eqnarray*}$

entspricht doch nicht

$\begin{eqnarray*} F(x)=(x^2+1)*ln(x^2+1)-(x^2+1) \end{eqnarray*}$

oder?

Aber was dann?!?

13.10.2005, 17:17

brunsi

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mach das am besten mit partieller Integration. und bediene dich da eines kleinen tricks. ersetze den faktor 1 noch vor das ln(...) und integriere geschickt.

13.10.2005, 17:19

Fabian

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wie kann man den faktor 1 einfach vor das ln setzen?

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13.10.2005, 18:29

klarsoweit

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RE: Integralaufgabe
Bleiben wir erstmal bei
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\sqrt{e-1}}~x*ln(x^2+1)~dx \end{eqnarray*}$
Hier hilft die Substitution z = x^2+1 weiter.

13.10.2005, 18:45

Sephiroth

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Ich hätte ganz einfach Partielle-Integration angewandt.

f`(x) = x

g(x) = ln(x^2+1)

ging ziemlich ratz fatz. Ist wahrscheinlich nicht der einzige, aber schö isser.

13.10.2005, 19:24

Fabian

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kannst du mir sagen was ich für $\begin{eqnarray*} g'(x) \end{eqnarray*}$ rausbekommen muss?
Tue mich mit ln noch etwas schwer.

edit: Habs schon...

Da hab ich dann

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\sqrt{e-1}}~x*ln(x^2+1)~dx= [\frac{1}{2}x^2*ln(x^2+1) ]_{0}^{\sqrt{e-1}}- \int_{0}^{\sqrt{e-1}}~\frac{x^3}{x^2+1}~dx \end{eqnarray*}$

und nu?! muss ich nochmal part. substituieren?

13.10.2005, 21:03

Fabian

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Hi... ich bins nochmal... kann mir denn keiner weiterhelfen?
Wäre wirklich wichtig unglücklich

unglücklich

13.10.2005, 21:05

derkoch

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ich würde erstmal wie klarsoweit geschrieben hat substituieren! der rest ist dann nur noch ein ganz normales integral.

13.10.2005, 21:20

Fabian

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ich weiss leider nicht, wie ich ln(x²+1) integrieren kann

die Regel für ln(x) ist mir zwar bekannt, kann das aber nicht auf x²+1 nachvollziehen unglücklich

unglücklich

könnt ihr mir weiterhelfen?

13.10.2005, 21:22

Mathespezialschüler

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Das sollst du ja auch gar nicht. Substituiere doch erstmal $\begin{eqnarray*} z=x^2+1 \end{eqnarray*}$ , wie klarsoweit schon sagte, und sehe was rauskommt!!

Gruß MSS

13.10.2005, 21:29

Fabian

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ja aber wenn ich das substituiere bekomme ich

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \int_{g(0)}^{g(\sqrt{e-1})}~ln(x^2+1)~dz \end{eqnarray*}$

und nun weiss ich nicht wie ich das ln(x²+1) integriere... unglücklich

unglücklich

13.10.2005, 21:30

derkoch

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hast du auch richtig substituiert?? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.10.2005, 21:37

Fabian

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ich weiss nicht wie ich es anders machen sollte... verwirrt

verwirrt

unglücklich

traurig

13.10.2005, 21:39

derkoch

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soweit ich mich erinnern kann, haben wir abgemacht, daß $\begin{eqnarray*} (x^2+1) = z \end{eqnarray*}$ sein sollte! und nu schau mal deine substituierte funktion nochmal an! smile

smile

13.10.2005, 21:42

Mathespezialschüler

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Nach der Substitution darfst du niemals mehr ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ dabei haben, sondern nur noch $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ 's und Kosntanten!! Natürlich musst du alles, was mit $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ zu tun hat, ersetzen!

Gruß MSS

13.10.2005, 21:43

Fabian

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \int_{g(0)}^{g(\sqrt{e-1})}~ln(z)~dz \end{eqnarray*}$

hätten wir dann oder?

dann wäre die Stammfkt doch

$\begin{eqnarray*} [z*ln(z)-z] \end{eqnarray*}$

aber das stimmt ja auch nicht menno =(

Zitat:

Nach der Substitution darfst du niemals mehr ein dabei haben, sondern nur noch 's und Kosntanten!! Natürlich musst du alles, was mit zu tun hat, ersetzen!

Wie kann ich das denn ersetzen?

Sorry das ich mich wie der erste Mensch anstelle...

13.10.2005, 21:44

Mathespezialschüler

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Nicht die Stammfunktion, sondern eine Stammfunktion!! Es gibt unendlich viele, deswegen darfst du nicht von der Stammfunktion sprechen!
Du hast noch das $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ vergessen. dann stimmt es!! Freude

Freude

Gruß MSS

13.10.2005, 21:45

derkoch

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und warum sollte, deiner meinung nach, es nicht stimmen?
begründung bitte!

13.10.2005, 21:56

Fabian

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oke wenn ich jetzt alles eingesetzt habe bekomme ich ca. 5 raus (habe nicht alles aufeinmal eingetippt)
wenn ich die Aufgabe aber in meinen Taschenrechner einhacke gibt der ein Ergebnis von 1/2 aus...

könnt ihr das vielleicht auch mal nachrechnen?

Vielen Dank schonmal für die große Hilfe Prost

Prost

Gott

die grenzen müssen ja dann e und 1 sein oder?

13.10.2005, 22:07

Mathespezialschüler

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Ich bekomme auch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ . Zeig einfach mal, wie du eingesetzt hast!

Gruß MSS

13.10.2005, 22:14

Fabian

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also

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} [(x^2+1)*ln(x^2+1)-(x^2+1)]_{1}^e \end{eqnarray*}$

und dann

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}(((e^2+1)*ln(e^2+1)-(e^2+1))-(2*ln(2)-2)) \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

13.10.2005, 22:16

Mathespezialschüler

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Dann musst du aber auch die Grenzen resubstituieren! Also entweder

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}[z\ln z-z]_1^{\operatorname e} \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\left[(x^2+1)\ln(x^2+1)-(x^2+1)\right]_0^{\sqrt{\operatorname e-1}} \end{eqnarray*}$ ,

aber beides vermischen geht nicht! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß MSS

13.10.2005, 22:32

Fabian

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*total aufm schlauch steh*

das versteh ich jez ehrlichgesagt nicht wo wirklich...

z ist doch x²+1
warum muss ich dann die grenzen wieder umwandeln?

anderes Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \int_{3,5}^{4}~(2x-7)^{\frac{3}{5}}~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x)=z=2x-7 \end{eqnarray*}$

da hab ich doch dann auch

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}~[\frac{5}{8}z^{\frac{8}{5}}]_{g(3,5)}^{g(4)} \end{eqnarray*}$

und das ist dann

$\begin{eqnarray*} \frac{5}{16} ~[(2x-7)^\frac{8}{5} ]_{0}^1 \end{eqnarray*}$

warum muss ich hier die grenzen vertauschen und bei der anderen aufgfabe nicht? traurig

traurig

13.10.2005, 22:40

Mathespezialschüler

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Was heißt denn bei der anderen Aufgabe?
Die Grenzen 0 und 1 haben doch mit $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ überhaupt nichts zu tun! Wo sollen die denn auf einmal herkommen? Die Substitution hilft dir doch nur, eine Stammfunktion zu finden und die 0 und die 1 beziehen sich vollkommen auf $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ . Bei $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ musst du natürlich die alten Grenzen wieder nehmen.
An deinem Beispiel siehst du doch sofort, dass es falsch ist, wie du es dachtest:

$\begin{eqnarray*} \left[(2x-7)^{\frac{8}{5}}\right]_0^1 \end{eqnarray*}$

ist doch gar nicht definiert! Du musst da irgendwelche Wurzeln aus negativen Zahlen ziehen. Nimmst du hingegen wieder die eigentlichen Grenzen 3,5 und 4:

$\begin{eqnarray*} \left[(2x-7)^{\frac{8}{5}}\right]_{3.5}^4 \end{eqnarray*}$ ,

dann stimmt doch alles und du wirst übrigens sehen, dass dasselbe Ergebnis wie bei

$\begin{eqnarray*} \left[z^{\frac{8}{5}}\right]_0^1 \end{eqnarray*}$

herauskommen wird.

Gruß MSS

13.10.2005, 22:44

Fabian

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aber was is den z zum beispiel bei meinem letzten beispiel?
Ich verstehe nicht, welchen Wert z annimmt... verwirrt

verwirrt

edit: achso sind das dann praktisch andere Grenzen für einen Faktor namens z ...

geschockt

geschockt

13.10.2005, 22:48

Mathespezialschüler

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Die Frage verstehe ich, ehrlich gesagt nicht. Es ist $\begin{eqnarray*} z=2x-7 \end{eqnarray*}$ und es gilt:

$\begin{eqnarray*} 3,5\leq x\leq 4 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} 0\leq z\leq 1 \end{eqnarray*}$ .

Wenn du aber bei $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ 0 und 1 einsetzt, dann ist das somit das gleiche wie wenn du bei $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ 3,5 und 4 einsetzt, denn es gilt doch

$\begin{eqnarray*} x=\frac{z+7}{2} \end{eqnarray*}$

und aus $\begin{eqnarray*} z=0 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} x=3.5 \end{eqnarray*}$ sowie aus $\begin{eqnarray*} z=1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x=4 \end{eqnarray*}$ folgt.

Gruß MSS

13.10.2005, 22:52

Fabian

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es ist egal ob du meine frage verstanden hast... ich habe die thematik jetzt endlich verstanden smile

smile

und habe das mit dem z jez auch kapiert...

ich weiss garnet wie ich dir danken soll... super super super einfach nur klasse die hilfe hier wüsste nicht mehr was ich ohne euch und ganz speziel dich machen würde.

Eine letzte Frage aber habe ich noch... Ich kann ja auch einfach in Aufgaben das z stehen lassen und die grenzen dementsprechend verändern, dann ist z.b. die aufgabe um einiges Kürzer, was das schreiben und eintippen in rechner angeht und es ist ja trotzdem das gleiche... kann ich das in der arbeit mit z hinschreiben oder muss ich wegen der form am ende wieder umformen?

Nochmals vielen vielen vielen Dank Freude

Freude

Freude

Freude

Prost

Prost

Prost

Wink

13.10.2005, 22:53

Mathespezialschüler

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Ja, natürlich kannst du auch das $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ mit "seinen" Grenzen stehen lassen. Das ist manchmal wirklich etwas schneller, siehe z. B.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}[z\ln z-z]_1^{\operatorname e} \end{eqnarray*}$

bei deiner Aufgabe.

Gruß MSS

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