bildmenge und urbildmege

12.04.2008, 06:25

battlem0le

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bildmenge und urbildmege

HIiiiiilfe!

ich dachte,ich hätte in der Vorlesung alles grob verstanden aber von wegen.
ich hab mal folgendes gerechnet:

f:N-> N f(n)= x^2 + 1
1.) bestimme die Bildmenge f(A), A={n element N/ 7<= n <13}

ich hab daraus gemacht: f(A)= {n^2 + 1 / 7<=n<13)
somit f(A)={50, 65, 82, 101, 122, 145}
ist das vllcht richtig?

2 smile

smile

bei folgender Menge B={m element N/ m ungerade) ist nach der Urbildmenge
f hoch -1 (B) gefragt

das versteh ich gar nicht, kann mir da vllcht jemand weiterhelfen?

danke schon mal im vorraus!^^

12.04.2008, 06:55

AD

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Vielleicht mal sprachlich übersetzt: Es ist die Menge aller der Argumente $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gesucht, die zu ungeraden Funktionswerten führen.

Für welche natürlichen Zahlen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist denn $\begin{eqnarray*} n^2+1 \end{eqnarray*}$ ungerade?

EDIT: Schreib oben mal besser $\begin{eqnarray*} f(n)=n^2+1 \end{eqnarray*}$ . Oder $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2+1 \end{eqnarray*}$ , aber nicht "gemischt"...
Der erste Teil mit der Bildmenge ist übrigens richtig. Freude

Freude

12.04.2008, 15:21

battlem0le

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dankeschön!

wäre es dann richtig zu schreiben:

f hoch -1 (B) = {n element N/f(n)} = n element N / n quadrat + 1

somit Urbildmenge= 0qaudrat 1; 2 quadrat +1; etc.. ?

LG

12.04.2008, 15:24

AD

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Zitat:

Original von battlem0le
f hoch -1 (B) = {n element N/f(n)} = n element N / n quadrat + 1

??? Deine Symbolik verschwindet bedeutungsmäßig im Nirwana... unglücklich

unglücklich

12.04.2008, 15:32

battlem0le

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waaaaaas? imnirvana, soso.

also, mien problem ist, dass in der ersten aufgabe ja noch mit gerechnet wurde, während in der 2. nach m gefragt ist. also habe ich einfach mal angenommen, dass f(n)=m sei und versucht, dass in die Urbildmenge einzusetzen. da die zahlen nur ungerade sein sollen, hab ich somit 0 hoch 2 +1 und 2 hoch 2 + 1 usw raus.
oder hab ich da jetzt nen totalen hänger drin?

12.04.2008, 15:37

AD

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Ich verstehe dich einfach überhaupt nicht. unglücklich

unglücklich

Außerdem habe ich das unbestimmte Gefühl, dass du überhaupt nicht weißt, was unter der Urbildmenge zu vestehen ist. Schau dir deren Definition noch mal ganz genau an.

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13.04.2008, 20:08

tobsennn

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Na, hört da etwa wer Analysis 1 beim Herrn Upmeier? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also die Frage ist welche Urbilder bei Anwendung von f die Elemente in B ergeben.

$\begin{eqnarray*} f: \mathbb N \rightarrow \mathbb N,\ \ \ f(n) = n^2 + 1 \end{eqnarray*}$

Gesucht ist die Urbildmenge $\begin{eqnarray*} f^{-1}(B) \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} B = \{m \in \mathbb N\ |\ m\ ungerade\} \end{eqnarray*}$

Was mich jetzt interessieren würde: Gibt es überhaupt eine Urbildmenge, da z.B. das Urbild von 7 ja $\begin{eqnarray*} \sqrt{6} \end{eqnarray*}$ wäre, was nicht in in $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ liegt? Wie schreibe ich das dann am besten auf?

MFG,
Tobi

13.04.2008, 20:18

AD

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Noch einer, der den Begriff Urbildmenge nicht verstanden hat. Also gemäß Definitionsbereich von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(B) := \Big\{ n\in\mathbb{N} \Bigm| f(n)\in B \Big\}\qquad (*) \end{eqnarray*}$

Wie du richtig festgestellt hast, gibt es kein $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(n)=7 \end{eqnarray*}$ .

Na und? Wieso kommst du deshalb auf die Idee, dass deswegen die Urbildmenge nicht existiert? Es gibt doch keine Notwendigkeit, dass jedes Element aus $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ als Bild existieren muss! Schaut euch doch mal die Definition (*) RICHTIG an...

13.04.2008, 20:21

battlem0le

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soso sag bloß, du sitzt auch beim upmeier!
hast du den rest hingekriegt?

13.04.2008, 20:21

tobsennn

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Ergo sind die Elemente der Urbildmenge in diesem Fall alle geraden Zahlen?

13.04.2008, 20:26

AD

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Richtig. Wenn du das noch richtig begründest, sollte auch dein Fragezeichen ? verschwinden. Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.04.2008, 20:39

tobsennn

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Gerade Zahlen haben die Form $\begin{eqnarray*} 2n \end{eqnarray*}$ . Das Quadrat einer geraden Zahl ist wegen $\begin{eqnarray*} (2n)^2 = 4n^2 = 2*(2n^2) \end{eqnarray*}$ auch gerade. 1 drauf addiert gibt eine Zahl der Form $\begin{eqnarray*} 2n + 1 \end{eqnarray*}$ also ungerade.

13.04.2008, 20:42

AD

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Damit hast du begründet, dass alle geraden Zahlen in $\begin{eqnarray*} f^{-1}(B) \end{eqnarray*}$ liegen. Allerdings musst du ebenso auch noch begründen, warum keine weiteren (das wären dann eine oder mehrere ungerade) Zahlen in dieser Menge liegen - das gehört ebenso dazu!

Nur so als Beispiel: Würde die Funktion $\begin{eqnarray*} f(n)=n^2+n+1 \end{eqnarray*}$ lauten, dann wäre die Urbildmenge $\begin{eqnarray*} f^{-1}(B)=\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ für euer $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.04.2008, 20:51

tobsennn

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Ungerade Zahlen haben die Form $\begin{eqnarray*} 2n + 1 \end{eqnarray*}$ . Das Quadrat einer ungeraden Zahl ist wegen $\begin{eqnarray*} (2n+1)^2 = 4n^2 + 4n + 1 = 2*(2n^2+2n) + 1 \end{eqnarray*}$ auch ungerade. 1 drauf addiert gibt eine Zahl der Form $\begin{eqnarray*} 2n \end{eqnarray*}$ also gerade. Es kann also keine ungerade Zahl in $\begin{eqnarray*} f^{-1}(B) \end{eqnarray*}$ liegen.

13.04.2008, 21:12

AD

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Ja, dann hab selbst ich nix mehr zu meckern. Freude

Freude

14.04.2008, 06:32

tobsennn

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Wunderbar, Danke! smile

smile

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