gradient - differentialquotient

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gradient - differentialquotient
hallo, euch erstmal ein schönes wochende, hoffentli sitz ihr nich auch grade über den hausaufgaben... naja, ich hänge jetzt schon paar stunden über der aufgabe und mir fällt nix gescheites ein, vll könnt ihr ja helfen *hofft*:

es seien: und stetig differenzierbar, und

verifizieren sie folgende beziehung:



klar ist, dass es wenns für den eindimensionalen fall gilt auch hier gilt. leider weiss ich auch nicht wie mans für n=1 zeigt. kann mir jemand auf die sprünge helfen?
achso, es wurde noch der hinweis auf den mittelwertsatz gegeben, der besagt ja, dass bei obigen eigenschaften der funktion f auf einem intervall (a,b) gilt:

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RE: gradient - differentialquotient
jetzt fühl ich mich wenigstens nimmer so dumm, wenns hier auch keiner weiss Augenzwinkern
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Definiere dir die Funktion



Dann bedeutet dein Differentialquotient die Ableitung von zu bestimmen. Nun nutze die Kettenregel.
XXIII Auf diesen Beitrag antworten »

wow, danke erstmal für die antwort, ich versuchs mal:

da sich aus dem fall alle anderen fälle automatisch ergeben betrachte ich nur den.



also ich vermute du hast das so gemeint, kannst du mir bitte noch erklären wies zu dem gleichheitszeichen (wo der pfeil ist) kommt
und wie ich dann von auf komme? (ich vermute ja, dass das beim bilden vom grenzwert rausfliegt, aber sicher weiss ichs nich)

erstmal vielen dank fürs helfen, jetz hab ich hoffnung hier doch noch was zu verstehen.
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von XXIII

da sich aus dem fall alle anderen fälle automatisch ergeben betrachte ich nur den.


Also das musst du mir erklären wieso sich dann alle anderen Fälle ergeben...




Schau mal hier:
Du hast , das Differential von bezeichne ich mit (das heisst das ist die Jacobimatrix) und du hast mit und du hast die Funktion

Die Kettenregel sagt dir, dass dann

ist (denn alles ist stetig partiell differenzierbar etc)

Nun musst du nur noch und bestimmen.

Das heisst beantworte zwei Fragen:
Wie kann man für ein Skalarfeld die zugehörige Jacobimatrix bestimmen? Stichwort Gradient.
Wie ist die Jacobimatrix einer Kurve im ? Stichwort komponentenweise Differentiation.
XXIII Auf diesen Beitrag antworten »

also n=1 genügt weil



und wenni jetzt d folgendermaßen zusammensetze ergibt sich das eigentli:



jetzt überlege ich aber wie du auf die jacobi-matrix kommst weil ich ja habe, da habsch doch garkeine n funktionen sondern nur eine und dann ist ja die jakobi-matrix grade der gradient.

ich danke dir wie verrückt für deine mühe, bin wohl manchmal ein wenig schwer von begriff, habs jetz aber im netz gefunden unter:
http://books.google.de/books?id=om3QiK0q...hl=de#PPA242,M1

jetz denk i da hätte man auch selber drauf komm könn, aber irgendwie is mir das mit dem g'(0) so nicht eingefallen.

zumindest bin ich jetzt froh, dass i ne lösung hab smile

da gehts nun zum gemütlichen teil Prost
 
 
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von XXIII
also n=1 genügt weil



und wenni jetzt d folgendermaßen zusammensetze ergibt sich das eigentli:





Das ist falsch.
Du hast eine Funktion gegeben die vom n-dimensionalen Raum in den eindimensionalen geht. Du kannst die nicht einfach auseinanderpflücken, es sei denn dir garantiert ein mir unbekannter Satz, dass dann mit der Differentiation noch alles gut geht.



Der Witz bei der Lösung die ich vorgeschlagen habe ist, dass man ja genau das erhält was du haben wolltest, denn wie du schon festgestellt hast ist

und weiter

Dann ist , wie verlangt.
XXIII Auf diesen Beitrag antworten »

ich denke das stimmt, wenn man die eben bewiesene aussage verwendet Big Laugh hat man ja dann wenn man sie wie ich eben zeigte aufsplittet die einzelnen partiellen ableitungen mit d_1...d_n multipliziert und dann schreibt man diese eben wieder als differentialkoeffizient und schon hat mans....oder das is nen zirkelschluss, ganz sicher bin ich nicht
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von XXIII



Das ist hier nicht zweckmäßig. Verwende



Mithilfe des Mittelwertsatzes geht es auch ganz einfach. Es ist ja



mit einem Damit folgt



Aus der Stetigkeit der Ableitung von f folgt nun die Behauptung. system-agents Ansatz zeigt übrigens auf, dass man getrost auf die Stetigkeit der Ableitung verzichten kann. Die Behauptung gilt also bereits für in x differenzierbares f.
XXIII Auf diesen Beitrag antworten »

danke, das mitn mws ist natürli noch besser smile
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von XXIII
das mitn mws ist natürli noch besser smile


Finde ich nicht. Begründet habe ich das in den letzten Zeilen meines letzten Posts.
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