Konvergenz von Folgen und Reihen

14.10.2005, 17:41

Poldi

Konvergenz von Folgen und Reihen

Hallo Ihr Lieben,

und schon wieder bekomme ich zwei Aufgaben nicht alleine hin:

1. $\begin{eqnarray*} a_n = \sum_{k=1}^n~ ( \frac{1}{\sqrt{k}} - \frac{1}{ \sqrt{k+1}} ) \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^ \infty ~ \frac{(x-2)^n}{n+\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

Ich soll bei 1. den Grenzwert bestimmen, sofern es überhaupt einen gibt.
Und bei 2. soll ich angeben, für welche x die Reihe konvergiert.

Bei 1. komme ich leider nur darauf die Summe zu zerlegen, also:

$\begin{eqnarray*} lim \sum_{k=1}^n~ ( \frac{1}{\sqrt{k}} - \frac{1}{ \sqrt{k+1}} ) =lim \sum_{k=1}^n~ \frac{1}{\sqrt{k}} - lim \sum_{k=1}^n~ \frac{1}{ \sqrt{k+1}} \end{eqnarray*}$ Jetzt weiß ich nicht weiter.

Bei 2. bin ich mit Quotientenkriterium und mit Wurzelkriterium rangegangen, aber beide Ansätze führten zu nichts. Hat jemand vielleicht eine bessere Idee??

Vielen Dank!
Gruß
Poldi

14.10.2005, 17:45

klarsoweit

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RE: Konvergenz von Folgen und Reihen
Bei 1 würde ich die Summe nicht trennen, sondern die Terme auf einen Bruch bringen.
Wieso funktioniert bei 2 das Wurzelkriterium nicht?

14.10.2005, 17:49

Leopold

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RE: Konvergenz von Folgen und Reihen

Zitat:

Original von Poldi
Bei 1. komme ich leider nur darauf die Summe zu zerlegen, also:

$\begin{eqnarray*} lim \sum_{k=1}^n~ ( \frac{1}{\sqrt{k}} - \frac{1}{ \sqrt{k+1}} ) =lim \sum_{k=1}^n~ \frac{1}{\sqrt{k}} - lim \sum_{k=1}^n~ \frac{1}{ \sqrt{k+1}} \end{eqnarray*}$

Und genau das darf man nicht! Grenzwertregeln sind keine Regeln der Algebra. Man darf zwar aus der Konvergenz der Summanden auf die Konvergenz der Summe schließen - aber nicht umgekehrt!

Schreibe dir doch einmal die Folge ausführlich hin für konkrete $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , z.B. $\begin{eqnarray*} n=4, n =7 \end{eqnarray*}$ . Was fällt auf?

14.10.2005, 18:53

Poldi

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RE: Konvergenz von Folgen und Reihen
Also mit dem Hinweis von Leopold fällt mir auf:

$\begin{eqnarray*} a_n = \sum_{k=1}^n~ ( \frac{1}{\sqrt{k}} - \frac{1}{ \sqrt{k+1}}) = 1 - \frac{1}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ (kann ich das einfach so, ohne Zwischenschritt, hinschreiben??)
und damit:
$\begin{eqnarray*} lim \sum_{k=1}^n~ ( \frac{1}{\sqrt{k}} - \frac{1}{ \sqrt{k+1}} = lim (1 - \frac{1}{\sqrt{n}}) = lim1 - lim\frac{1}{\sqrt{n}} = 1 - 0 = 1 \end{eqnarray*}$ Richtig ????

Allerdings verstehe ich nicht so ganz, warum man oben die Summe nicht trennen darf. Es gilt doch lim (g-f) = lim g - lim f. Wo war denn da der Fehler??

Die 2. Aufgabe versuche ich jetzt noch einmal mit Wurzelkriterium und dann melde ich mich wieder.

14.10.2005, 18:59

Mathespezialschüler

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$\begin{eqnarray*} a_n=1-\frac{1}{\sqrt{n+1}} \end{eqnarray*}$ ist richtig!

Zitat:

Original von Poldi
Allerdings verstehe ich nicht so ganz, warum man oben die Summe nicht trennen darf. Es gilt doch lim (g-f) = lim g - lim f. Wo war denn da der Fehler??

Ja, das darfst du, aber nur unter gewissen Voraussetzungen. Das hat Leopold auch schon eindeutig gesagt! Wenn $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}a_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}b_n \end{eqnarray*}$ existieren, dann existiert auch $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}(a_n-b_n) \end{eqnarray*}$ und es gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}(a_n-b_n)=\lim_{n\to\infty}a_n-\lim_{n\to\infty}b_n \end{eqnarray*}$ .

Dieses "wenn" ist hier aber eine sehr wichtige Voraussetzung!

Gruß MSS

14.10.2005, 19:02

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Zitat:

Original von Poldi
$\begin{eqnarray*} a_n = \sum_{k=1}^n~ ( \frac{1}{\sqrt{k}} - \frac{1}{ \sqrt{k+1}}) = 1 - \frac{1}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ (kann ich das einfach so, ohne Zwischenschritt, hinschreiben??)

Stimmt nicht ganz: Der "+"-Term $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{k}} \end{eqnarray*}$ hebt sich mit dem "-"-Term $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{k'+1}} \end{eqnarray*}$ des vorherigen Index $\begin{eqnarray*} k'=k-1 \end{eqnarray*}$ weg. Was bleibt, ist der "+"-Term für k=1 und der "-"-Term für k=n. Und da kommt "fast" die Formel raus, die du aufgeschrieben hast - aber eben nur fast.

Zitat:

Original von Poldi
Es gilt doch lim (g-f) = lim g - lim f.

Das gilt aber nur, wenn alle drei beteiligten Grenzwerte existieren, oder zumindest zwei davon (der dritte existiert dann automatisch). Und das ist hier eben nicht der Fall: Rechts steht $\begin{eqnarray*} \infty-\infty \end{eqnarray*}$ , und da sollten sämtliche Alarmglocken schrillen.

EDIT: Oh oh, wieder zu langsam. Aber doppelt genäht...

14.10.2005, 20:52

Poldi

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Zitat:

Original von Arthur Dent
EDIT: Oh oh, wieder zu langsam. Aber doppelt genäht...

Mein lieber Arthur Dent:
1. Ich freue mich, dass Du mal wieder mit von der Partie bist!
2. Was heißt hier "wieder zu langsam". Du bist sonst immer der Schnellste!
3. Für mich könnt Ihr gar nicht oft genug nähen.... Danke!

Also die 1. ist jetzt klar und wenn ich mal etwas genauer hingesehen hätte, wäre auch direkt der richtige Term rausgekommen ...
Danke auch für die Erklärung der anderen Frage - hab ich verstanden.

Allerdings bräuchte ich nochmal Hilfe bei der 2.
Ich zeig Euch mal, wie das bei mir aussieht, wenn ich mit dem Wurzelkriterium da rangehe:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{\mid \frac{(x-2)^n}{n+ \sqrt{n}} \mid} < 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <=> \mid \frac{(x-2)^n}{n+ \sqrt{n}} \mid < 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <=> \mid (x-2)^n \mid < n+ \sqrt{n} \end{eqnarray*}$

Und jetzt??? Wie löse ich denn den Betrag auf? Muss ich da unterscheiden danach ob n gerade oder ungerade und für den Fall n ungerade nochmal danach ob der Betrag von x kleiner als 2 ist oder nicht? Das würde aber ziemlich kompliziert!? Und am Ende hängt das x dann von n ab???

verwirrt

14.10.2005, 21:01

Mathespezialschüler

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Das Problem ist, dass deine Anfangsungleichung

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{\left|\frac{(x-2)^n}{n+\sqrt{n}}\right|}<1 \end{eqnarray*}$

ist schon falsch. Richtig ist: Es gibt ein $\begin{eqnarray*} q<1 \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{\left|\frac{(x-2)^n}{n+\sqrt{n}}\right|}<q \end{eqnarray*}$

für fast alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ . Das ist äquivalent zu

$\begin{eqnarray*} \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|\frac{(x-2)^n}{n+\sqrt{n}}\right|}<1 \end{eqnarray*}$ .

Jetzt beachte zunächst $\begin{eqnarray*} |(x-2)^n|=|x-2|^n \end{eqnarray*}$ , lasse den Betrag dann stehen und ziehe die n-te Wurzel einzeln aus Zähler und Nenner und bilde dann den $\begin{eqnarray*} \limsup \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

14.10.2005, 21:58

Poldi

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Die falsche Anfangsungleichung kam daher, dass ich - ich trau mich's kaum zu sagen - mal wieder nicht richtig hingeschaut habe ... Das muss ich dringend abstellen!!!

Aber ohne Deine Anweisungen wäre ich auch mit der richtigen Ungleichung nicht weiter gekommen.

Ich bekomme jetzt raus:

$\begin{eqnarray*} \mid x-2 \mid < lim \sqrt[n]{n+ \sqrt{n}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <=> \mid x-2 \mid < 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <=> 1 < x < 3 \end{eqnarray*}$ Richtig ???

Allerdings habe ich den Grenzwert auf der rechten Seit nur durch "Ausprobieren" ermittelt. Kann mir jemand einen besseren Weg dafür erklären??

14.10.2005, 22:39

JochenX

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Zitat:

Original von Poldi
Allerdings habe ich den Grenzwert auf der rechten Seit nur durch "Ausprobieren" ermittelt. Kann mir jemand einen besseren Weg dafür erklären??

wenn du weißt, das n-tewurzel aus n und n-tewurzel(c) [c<>0 konstant] jeweils gegen 1 streben für n gegen unendlich, dann kannst du es mit dem sandwichkriterium zeigen

einmal wurzel n weglassen, einmal durch n ersetzen (nach oben und unten abschätzen)

25.10.2005, 11:34

Poldi

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Ich hab doch noch eine Frage zu der Aufgabe und damit Ihr nicht den ganzen thread nochmal lesen müsst, fasse ich zusammen:

Aufgabe war:
Für welche x konvergiert

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^ \infty~ \frac{(x-2)^n}{n + \sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

Mit Wurzelkriterium hatten wir gezeigt, dass die Reihe für 1 < x < 3 konvergiert.

Ich soll aber für alle $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ angeben, ob die Reihe konvergiert oder divergiert. Also geht's ja noch weiter:

Für x < 1 oder x > 3 divergiert die Reihe - das kann ich als Folge aus dem Wurzelkriterium zeigen.

Für x = 1 konnte ich mit Hilfe des Leibnizkriteriums Konvergenz nachweisen.

Aber was ist mit x = 3 ???

Da $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n + \sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist, kann ich die Konvergenz nicht direkt ausschließen.
Wurzelkriterium scheitert, da $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sqrt [n]{ \mid \frac{1}{n + \sqrt{n}} \mid} = 1 \end{eqnarray*}$
Quotientenkriterium scheitert, da $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \mid \frac{n + \sqrt{n}}{n+1+ \sqrt{n+1}} \mid = 1 \end{eqnarray*}$

Leibnizkriterium scheitert, weil die Reihe nicht alterniert.
Minoranten- Majorantenkriterium hab ich auch probiert. Habe die harmonische Reihe als Majorante herangezogen, aber da diese divegiert kann ich das Kriterium nicht anwenden. Jedenfalls verstehe ich das Kriterium so, dass ich entweder eine divergierende Minorante oder eine konvergierende Majorante brauche, um etwas über meine Reihe sagen zu können.

Tja, jetzt bin ich mit meinem Latein am Ende! Kann mir jemand einen Tip geben?

Liebe Grüße
Poldi

25.10.2005, 15:22

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Zitat:

Original von Poldi
Jedenfalls verstehe ich das Kriterium so, dass ich entweder eine divergierende Minorante [...] brauche

Für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{n}\leq n \end{eqnarray*}$ . Ein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ noch addiert und Reziproke gebildet ergibt

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+\sqrt{n}}\geq \frac{1}{2n} \end{eqnarray*}$

Wink

25.10.2005, 15:52

Poldi

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Bei Dir hört sich das an, wie ein Kochrezept und man muss am Ende nur noch umrühren!!!

Tausend Dank!
Poldi

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