Problem mit Potenz von i

14.10.2005, 20:46

MrPSI

Problem mit Potenz von i

Hi,

auf nem Wandertag unserer Klasse haben wir unseren Mathelehrer getroffen und der ist irgenwie auf $\begin{eqnarray*} i^i \end{eqnarray*}$ zu sprechen gekommen.
Und ich hab mir vorgenommen, das übers Wochenende zu berechnen!
Nur wie? verwirrt

Er hat gesagt es lässt sich irgenwie über Reihen lösen und das Ergebnis hat was mit Pi zu tun, weshalb ich dann auch gefragt habe, ob die Polardarstellung bei der Lösung eine Hilfe wäre, was er bejaht hat.

Bei der Polardarstellung und den Reihen sehe ich keinerlei Ansätze zu machen! unglücklich

Könnt ihr mir bitte Tipps geben wie man da anfangen kann bzw. welches Wissen benötigt man zum Lösen? Gott

Reicht da normales Schulwissen oder braucht es da Spezial-Wissen(Höhere Mathematik, Taylor-Reihen, etc)?
Hilfe

14.10.2005, 21:07

Mathespezialschüler

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Mit diesem Post aus deinem alten Thread sollte dir alles Nötige gegeben sein, um das Problem zu lösen.

Gruß MSS

14.10.2005, 22:42

MrPSI

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das ist alles? geschockt

o.k. danke, dann probier ich es einmal....

15.10.2005, 00:14

Mathespezialschüler

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Naja, $\begin{eqnarray*} \operatorname e^{\operatorname iz}=\cos z+\operatorname i\sin z \end{eqnarray*}$ sollte man schon wissen.

Gruß MSS

15.10.2005, 00:28

papahuhn

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Naja, $\begin{eqnarray*} \operatorname e^{\operatorname iz}=\cos z+\operatorname i\sin z \end{eqnarray*}$ sollte man schon wissen.

Gruß MSS

Das gilt sogar für alle $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ ?

15.10.2005, 00:35

DGU

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15.10.2005, 00:52

papahuhn

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Auf Wikipedia habe ich zur Definition vom komplexen Sinus und Cosinus folgendes gefunden:

$\begin{eqnarray*} sin(z) = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}\ \text{und}\ cos(z) = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2} \end{eqnarray*}$ .

Eingesetzt ergibt das
$\begin{eqnarray*} e^{iz} := cos(z) + i*sin(z) := \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2} + \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2} = e^{iz} \end{eqnarray*}$

Irgendwie ist das ne Zirkeldefinition, deren Informationsgehalt mir verschlossen bleibt.

Edit:
Ich nehme alles zurück, die Beziehung $\begin{eqnarray*} e^{iz} = cos(z) + i*sin(z) \end{eqnarray*}$ ist gar keine Definition.

15.10.2005, 21:29

MrPSI

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Naja, $\begin{eqnarray*} \operatorname e^{\operatorname iz}=\cos z+\operatorname i\sin z \end{eqnarray*}$ sollte man schon wissen.

Gruß MSS

??? was hat eine komplexe Potenz von i mit einer komplexen Potenz von e zu tun?

edit: müsst nicht antworten, habs schon selbst herausgefunden!

16.10.2005, 15:30

MrPSI

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ich hab das jetzt mal berechnet/hergeleitet und ich bitte euch das zu kontrollieren und Fehler aufzuzeigen, weil ich mich nur ungern blamiere.

Herleitung:

$\begin{eqnarray*} i^i=e^{Ln(i)*i}=e^{(ln|i|+i*(arg(i)+2*\pi*k))*i}= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{(0+i*(\frac{\pi}{2}+2*\pi*k))*i}=e^{i^2*(\frac{\pi}{2}+2*\pi*k)}= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{-1*(\frac{\pi}{2}+2*k*\pi)}=(e^{\frac{\pi}{2}+2*k*\pi})^{-1}= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{e^{\frac{\pi}{2}+2*k*\pi}} \end{eqnarray*}$

16.10.2005, 16:08

pimaniac

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Passt alles!

16.10.2005, 16:28

MrPSI

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super, da wird der prof aber staunen Big Laugh

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