Infimum und Supremum

12.04.2008, 14:58

MrHanky

Infimum und Supremum

Hallo zusammen!
Ich habe hier eine (bzw.2) Aufgabe und weiss nicht, wie ich an diese herangehen soll:
a) Seien A und B nach unten beschränkte, nichtleere Mengen reeller Zahlen und sei C:={a+b: a € A und b € B}. Beweise, dass C nach unten beschränkt ist und inf C= inf A + inf B gilt.

b) Seien A und B nach oben beschränkte, nichtleere Mengen positiver reeller Zahlen und sein C:={a*b: a € A und b € B}. Zeige, dass D nach oben beschränkt ist und sup D = sup A* sup B gilt.

Wäre sehr nett, wenn mir da jemand weiterhelfen könnte.

Grüße, MrH

12.04.2008, 15:00

tmo

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Benutze einfach direkt die Defintion von Supremum und Infimum.

12.04.2008, 15:24

Romaxx

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Angenommen C wäre nicht nach unten beschränkt, dann gilt ...
Nun mach weiter, indem du die Voraussetzungen verwendest und folgere aufgrund derer einen Widerspruch.

Gruß

12.04.2008, 15:26

Mathespezialschüler

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Warum denn indirekt? Der direkte Weg ist doch viel schneller.

12.04.2008, 15:28

Romaxx

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Warum nicht? Er fragte nach Herangehensweisen...

Gruß

12.04.2008, 15:31

tmo

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Man soll beweisen, dass inf A + inf B das Infimum von C ist. Dazu kann man erstmal direkt zeigen, dass es untere Schranke von C ist.

Was soll es also bringen zu zeigen, dass eine untere Schranke existiert? Schließlich kennt man eine solche ja schon.

12.04.2008, 15:38

MrHanky

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Vielen Dank schon mal. Also, ich hab mal folgendes versucht:
Für alle x € A und y € B gilt: x+y € C -> x+y>= inf C
-> x>= inf C - y
-> inf A >= inf C - y
-> y>= inf C - inf A
-> inf B>= inf C - inf A
-> inf A + inf B >= inf C
Da x € A ist x>=inf A und da y € B muss y>= inf B sein
-> x+y>= inf A + inf B
Da x+y ein beiliebiges Element aus C ist, ist x+y>=inf C und c>= inf A + inf B.
-> inf A + inf B >= inf C und inf A + inf B <= inf C
-> inf A + inf B = inf C.
Ist das so richtig?

Grüße, MrH

12.04.2008, 15:52

Mathespezialschüler

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Deine grundlegenden Gedanken sind richtig, allerdings hapert es etwas bei der Reihenfolge und der logischen Struktur.

Du musst zuerst zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \inf C \end{eqnarray*}$ existiert, dass also $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ nichtleer und nach unten beschränkt ist. Dafür muss also

Zitat:

Da x € A ist x>=inf A und da y € B muss y>= inf B sein

an den Anfang, nur vielleicht etwas anders aufgeschrieben. Der Anfang sollte ungefähr so aussehen:

"Zunächst ist $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ nichtleer, weil [...].

Für jedes $\begin{eqnarray*} c\in C \end{eqnarray*}$ gibt es nun $\begin{eqnarray*} x\in A,y\in B \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} c=x+y \end{eqnarray*}$ . Dann folgt aufgrund von $\begin{eqnarray*} x\geq \inf A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y\in \inf B \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} c=x+y\geq \inf A+\inf B \end{eqnarray*}$ .

Damit ist $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ nach unten beschränkt und $\begin{eqnarray*} \inf A+\inf B \end{eqnarray*}$ ist eine untere Schranke von $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ ."

Nun kannst du den ersten Teil deiner Argumentation anbringen. Versuche, dort ungefähr die Ausführlichkeit beizubehalten, die ich gerade angebracht habe. Ein paar Worte als Begründung sollte man an einigen Stellen nämlich schon hinzufügen.

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