Supremumsnorm |
12.04.2008, 15:16 | jiolop | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Supremumsnorm die Aufgabe ist mir klar, aber ich weiß nicht wie ich da rangehen soll. Kann mir jemand einen Tipp geben? Vielen Dank schonmal! Aufgabe: Sei (X,d) ein metrischer Raum mit beschränkter Metrik und sei definiert durch . Zeigen Sie gilt . (Die Norm ist die Supremumsnorm) |
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12.04.2008, 15:19 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Setze doch die Definition von bzw. einmal in die zu beweisende Gleichung ein. Dann siehst du es vielleicht schon. edit: Wozu braucht man die Beschränktheit? |
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12.04.2008, 15:32 | Frooke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das machte mich auch grad stutzig, aber man benutzt sie wohl, damit überhaupt auf ganz definiert werden darf. mfg |
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12.04.2008, 15:44 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Frooke Nein, das kann es nicht sein. Was ist an der Definition denn nicht ok? Der Wert ist immer endlich - ob nun beschränkt ist oder nicht. |
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12.04.2008, 17:38 | jiolop | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Aus der Beschränktheit folgt, dass , also f beschränkt ist. Das Einsetzen bringt nicht viel, eigentlich nichts. Mir ist klar, dass es so ist, aber wie kann ich das beweisen? |
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12.04.2008, 17:44 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das braucht man aber nicht. Man benötigt nur die Beschränktheit von und das gilt auch dann, wenn nicht beschränkt ist. Zur Aufgabe selbst: Zu beweisen ist die Gleichung . Zeige dazu zunächst für alle . Vielleicht kennst du diese Ungleichung ja sogar schon (umgekehrte Dreiecksungleichung). Und der zweite Teil ist in diesem Fall besonders einfach: Das Supremum ist nämlich sogar Maximum, es wird also als Wert angenommen. Eines der entsprechenden 's findest du sicher selbst. |
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12.04.2008, 18:05 | jiolop | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die umgekehrte Dreicksungleichung gilt auch in metrischen Räumen? Eigentlich klar, folgt ja sofort aus der Dreiecksungleichung. Dann ist die Aufgabe richtig einfach... peinlich Danke!!! |
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12.04.2008, 19:54 | Frooke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, stimmt. Dann habe ich auch keine Ahnung ... |
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