Supremumsnorm

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jiolop Auf diesen Beitrag antworten »
Supremumsnorm
Hallo,

die Aufgabe ist mir klar, aber ich weiß nicht wie ich da rangehen soll. Kann mir jemand einen Tipp geben?

Vielen Dank schonmal!


Aufgabe: Sei (X,d) ein metrischer Raum mit beschränkter Metrik und sei definiert durch .
Zeigen Sie gilt . (Die Norm ist die Supremumsnorm)
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Setze doch die Definition von bzw. einmal in die zu beweisende Gleichung ein. Dann siehst du es vielleicht schon.

edit: Wozu braucht man die Beschränktheit? verwirrt
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Wozu braucht man die Beschränktheit? verwirrt


Das machte mich auch grad stutzig, aber man benutzt sie wohl, damit überhaupt auf ganz definiert werden darf.

mfg
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

@Frooke
Nein, das kann es nicht sein. Was ist an der Definition denn nicht ok? Der Wert ist immer endlich - ob nun beschränkt ist oder nicht.
jiolop Auf diesen Beitrag antworten »

Aus der Beschränktheit folgt, dass , also f beschränkt ist.

Das Einsetzen bringt nicht viel, eigentlich nichts. Mir ist klar, dass es so ist, aber wie kann ich das beweisen?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von jiolop
Aus der Beschränktheit folgt, dass , also f beschränkt ist.

Das braucht man aber nicht. Man benötigt nur die Beschränktheit von und das gilt auch dann, wenn nicht beschränkt ist.

Zur Aufgabe selbst: Zu beweisen ist die Gleichung

.

Zeige dazu zunächst



für alle . Vielleicht kennst du diese Ungleichung ja sogar schon (umgekehrte Dreiecksungleichung).

Und der zweite Teil ist in diesem Fall besonders einfach: Das Supremum ist nämlich sogar Maximum, es wird also als Wert angenommen. Eines der entsprechenden 's findest du sicher selbst.
 
 
jiolop Auf diesen Beitrag antworten »

Die umgekehrte Dreicksungleichung gilt auch in metrischen Räumen? Eigentlich klar, folgt ja sofort aus der Dreiecksungleichung. Dann ist die Aufgabe richtig einfach... peinlich Hammer

Danke!!!
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
@Frooke
Nein, das kann es nicht sein. Was ist an der Definition denn nicht ok? Der Wert ist immer endlich - ob nun beschränkt ist oder nicht.


Ja, stimmt. Dann habe ich auch keine Ahnung geschockt ...
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