Extremwertaufgabe: Pyramide mit Stangen

15.10.2005, 14:01

jannik

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Extremwertaufgabe: Pyramide mit Stangen

Jo moin hab folgendes problem:

4 Stangen von jeweils 4 Meter länge sollen das Gerüst eines Zeltes in Form einer quadratischen Pyramide bilden. Gesucht ist das Zelt mit dem maximalen Volumen.

Funktion: f(h,g)=1/3*g^2*h
wobei g grundseite des quadrates auf dem boden ist und h die höhe der pyramide.

Tja und weiter komm ich irgendwie nich, weil ich es nich schaffe ne Nebenbedingung aufzustellen. Meine Ansatze bestanden darin mir einzelne Dreicke zunehmen und daraus zu versuchen g als Nebenfunktion zu bekommen.

würd mich freuen wenn mir jmd die Nebenbedingung sagen und erklären könnte.

15.10.2005, 14:03

lego

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hier hilft der satz von pythagoras, die schräg stehenden stangen haben die länge 4, also ist die hypothenuse des dreiecks unter den stangen 4, vielleicht versuchst du selber weiter

15.10.2005, 14:04

Leopold

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RE: Extremwertaufgabe: Pyramide mit Stangen

Zitat:

Original von jannik
von jeweils 4 Meter länge

15.10.2005, 14:15

Jannik

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Zitat:

Original von lego
hier hilft der satz von pythagoras, die schräg stehenden stangen haben die länge 4, also ist die hypothenuse des dreiecks unter den stangen 4, vielleicht versuchst du selber weiter

damit habe ich auch gearbeitet, nur besteht das Dreieck dann ja aus der Höhe der Pyramide der Stange und einer unbekannten Größe nämlich die Hälfte der Diagonale des Quadrates. Daraus hab ich dann geleitet das h^2 = s^2 - (1/2*g*wurzel aus 2)^2 ist.

g*wurzel aus 2 ist nach der Formelsammlung die Diagonale eines Quadrates.

Ist der Ansatz so richtig?

15.10.2005, 14:19

klarsoweit

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Schaut richtig aus. Freude

Freude

Das ganze noch mit Latex:
$\begin{eqnarray*} h^2 = s^2 - (0,5 \cdot g \cdot \sqrt{2})^2 \end{eqnarray*}$

15.10.2005, 15:19

Jannik

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Zitat:

Original von klarsoweit
Schaut richtig aus. Freude

Freude

Das ganze noch mit Latex:
$\begin{eqnarray*} h^2 = s^2 - (0,5 \cdot g \cdot \sqrt{2})^2 \end{eqnarray*}$

ok danke kann mir jetzt noch jmd veraten wie ich den folgenden Therm ableiten (bzw. vereinfachen um ihn ableiten zu können) kann ?

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{3} \cdot x^{2} \cdot \sqrt{16 - (\frac{1}{2} \cdot x \cdot \sqrt{2} )^2 } \end{eqnarray*}$

danke schonmal^^

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15.10.2005, 15:43

_Sunny_

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ist es nicht besser nach g aufzulösen???nach h ist doch ungünstig weil dann eben diese wurzel steht!

15.10.2005, 16:20

Jannik

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Zitat:

Original von _Sunny_
ist es nicht besser nach g aufzulösen???nach h ist doch ungünstig weil dann eben diese wurzel steht!

nach g entsteht aber auch eine wurzel, weil g inner klammer steht die ^2 genommen wird :/

15.10.2005, 16:22

_Sunny_

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also wir haben die aufg. auch gemacht nur dass die stangen 2m waren.
wir haben die volumenformel genommen:
V=1/3*a²*h
dann haben wir ne seitenfläche genommen und satz des pythagoras angewendet: für den einen teil des dreiecks: 2²=h²+(a/2)²
ausgerechnet is das dann h=wurzel aus 4-(a/2)²
dann haben wir noch eine andere fläche genommen und ham wieder pythagoras verwendet: h²=h²+(a/2)²
da beides h² ergibt setzen wir gleich:
4-(a/2)²=h²+(a/2)²
und dann haben wir nach a aufgelöst also bei dir g glaub ich:
a²=8-2h²
das dann in volumenformel eingesetzt ergibt:
1/3*(8-h²)*h bzw 8/3h-1/3h³

15.10.2005, 16:27

Jannik

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Zitat:

Original von _Sunny_
also wir haben die aufg. auch gemacht nur dass die stangen 2m waren.

kannst du dann mal reinschreiben wie ihr den therm dann vereinfacht und nach g aufgelöst habt? verwirrt

verwirrt

15.10.2005, 17:05

Jannik

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Zitat:

Original von _Sunny_
also wir haben die aufg. auch gemacht nur dass die stangen 2m waren.
wir haben die volumenformel genommen:
V=1/3*a²*h
dann haben wir ne seitenfläche genommen und satz des pythagoras angewendet: für den einen teil des dreiecks: 2²=h²+(a/2)²
ausgerechnet is das dann h=wurzel aus 4-(a/2)²
dann haben wir noch eine andere fläche genommen und ham wieder pythagoras verwendet: h²=h²+(a/2)²
da beides h² ergibt setzen wir gleich:
4-(a/2)²=h²+(a/2)²
und dann haben wir nach a aufgelöst also bei dir g glaub ich:
a²=8-2h²
das dann in volumenformel eingesetzt ergibt:
1/3*(8-h²)*h bzw 8/3h-1/3h³

ok danke glaub jetzt schaff ichs smile

smile

15.10.2005, 17:07

Leopold

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Man braucht doch gar nicht nach $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ auflösen. Man kann gleich nach $\begin{eqnarray*} g^2 \end{eqnarray*}$ auflösen und einsetzen. Keine Wurzel - keine Probleme!

05.06.2012, 20:58

Gastlehrer

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Falsch
Schön, dass im Internet so viele Falsche Lösungen und komplizierte herangehensweisen zu finden sind...

Tipp a ist die Grundseite, die wird hier nicht notwendigerweise gebraucht. Einfach direkt mit der Hälften der Diagonalen vorgehen. So wird auch die Funktionsgleichung richtig:

v(h) = 8/3h - 2/3h^3

05.06.2012, 21:45

sulo

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RE: Falsch
@Gastlehrer
Dein Lösungsvorschlag ist
1. falsch für die eingangs gestellte Frage!
2. von Leopold schon längst beschrieben worden.
3. von Sunny ausführlich vorgestellt und beschrieben worden.

Deine Lösung stimmt nur für die von Sunny im Verlauf des Threads beispielhaft beschriebene Rechnung. Dort hat sie in der Tat 1/3 h³ statt 2/3 h³ eingesetzt, weil ihr beim Übertragen die 2 als Faktor vor dem h abhanden gekommen ist. Diesen Fehler als "so viele Falsche Lösungen" zu beschreiben ist lächerlich.

Fazit:
Es gibt keinerlei Anlass für die von dir gezeigte Arroganz. Lehrer

Lehrer

05.06.2012, 22:34

FrankyP

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Also vereinfachen der Funktion:

f(x) = $\begin{eqnarray*} \frac{x^{2} }{3}\times \sqrt{16- \frac{x^{2} }{2} } \end{eqnarray*}$

jetzt kann mit Produktregel und Kettenregel abgeleitet werden:

Wurzelterm mit Kettenregel dann Produktregel smile

smile

Bedenke beim ableiten
$\begin{eqnarray*} \sqrt{16 - \frac{x^{2} }{2} } \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \left(16- \frac{x^{2} }{2} \right)^\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

05.06.2012, 22:39

sulo

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Hmm, hast du den Thread genau gelesen? verwirrt

verwirrt

Die HB für die eingangs gestellte Aufgabe kann man wesentlich einfacher schreiben:

$\begin{eqnarray*} V(h) = \frac{32}{3}h - \frac{2}{3}h^3 \end{eqnarray*}$

smile

smile

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