Integral [war: Fehlerfortpflanzung]

12.04.2008, 17:04

999

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Integral [war: Fehlerfortpflanzung]

Hey, habe hier ein wenig Probleme mit der Aufgabe, vielleicht könnt ihr mir ein wenig helfen...

Die Integrale $\begin{eqnarray*} I_n := \int_{0}^{1}~\frac{x^n}{x+42}~dx \end{eqnarray*}$ sollen für $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ mithilfe der Rekursionsformel berechnet werden.
a) Leiten Sie eine Formel zur Berechnung von $\begin{eqnarray*} I_n \end{eqnarray*}$ her, die auf der Kenntnis des Werts $\begin{eqnarray*} I_{n-1} \end{eqnarray*}$ beruht (Hinweis: ergänzen sie eine nahrhafte Null), und berechnen sie den Startwert $\begin{eqnarray*} I_0 \end{eqnarray*}$ .

So ich glaube man kann das durch Partialbruchzerlegung berechnen, allerdings weiß ich nicht wie das geht...

12.04.2008, 17:15

AD

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Befolge doch den Tipp mit der Rekursionsformel - dazu folgende Gedankenstütze

$\begin{eqnarray*} \frac{x^n}{x+42} = \frac{(x^n+42x^{n-1})-42x^{n-1}}{x+42} \end{eqnarray*}$

12.04.2008, 18:15

20_Cent

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Was hat das denn mit Fehlerfortpflanzung zu tun?
Mit Numerik ebensowenig, also verschoben
mfG 20

12.04.2008, 18:16

999

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Wie bist du denn auf die Gleichung gekommen und was muss ich damit jetzt machen?

12.04.2008, 18:20

999

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Achso, jetzt versteh ich das, dass ist das Thema mit der nahrhaften Null oder? Kann ich damit jetzt schon I_0 berechnen?

12.04.2008, 18:22

tmo

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Dass man so etwas machen soll, war als Hinweis gegeben.

Was du damit jetzt machen sollst? Noch etwas Umformen, sodass nur Terme(Summanden) entstehen, die du entweder integrieren kannst oder die auf $\begin{eqnarray*} I_{n-1} \end{eqnarray*}$ zurückführbar sind.

PS: $\begin{eqnarray*} I_0 \end{eqnarray*}$ ist ganz leicht zu berechnen. Dazu brauchst du den Tipp von Arthur Dent keineswegs. Dieser ist nur für die Herleitung der Rekursionsformel gedacht.

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12.04.2008, 18:27

999

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Also ich würde versuchen, dass zu integrieren, allerdings ist die Partialbruchzerlegung doch nicht möglich, da der Nenner eine kleineren Grad hat als der Zähle oder nicht? Weiß überhaupt nicht, wie ich das nun machen soll?

12.04.2008, 18:37

AD

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Zitat:

Original von 20_Cent
Was hat das denn mit Fehlerfortpflanzung zu tun?

Später schon ... Der Iteration sieht man es bereits an. Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.04.2008, 19:17

tmo

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Zitat:

Original von 999
Also ich würde versuchen, dass zu integrieren, allerdings ist die Partialbruchzerlegung doch nicht möglich, da der Nenner eine kleineren Grad hat als der Zähle oder nicht? Weiß überhaupt nicht, wie ich das nun machen soll?

Partialbruchzerlegung ist hier Fehl am Platze.

Ist dir denn überhaupt klar, was mit Rekursion gemeint ist?

Du sollst das Integral $\begin{eqnarray*} I_n = \int_0^1 \frac{x^n}{x+42}dx \end{eqnarray*}$ auf das Integral $\begin{eqnarray*} I_{n-1} = \int_0^1 \frac{x^{n-1}}{x+42}dx \end{eqnarray*}$ zurückführen, sodass man eine Rekursionsformel erhält, mit der man $\begin{eqnarray*} I_n \end{eqnarray*}$ berechnen kann, wenn man $\begin{eqnarray*} I_{n-1} \end{eqnarray*}$ schon kennt. Dazu hat dir Arthur Dent doch schon den entscheidenden Umformungsschritt geposted.

12.04.2008, 20:02

999

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Also es tut mir Leid, ich weiß nicht, was ich da machen soll, habe gerade schon die Potenzen auseinander gezogen, aber das bringt mir doch auch nix, da es ja durch Addition und Subtraktion verknüpft ist...
Wahrscheinlich ist das total einfach und ich sehe es mal wieder nicht unglücklich

unglücklich

12.04.2008, 20:04

tmo

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Zitat:

Original von 999
Also es tut mir Leid, ich weiß nicht, was ich da machen soll, habe gerade schon die Potenzen auseinander gezogen

kannst du mal posten was du genau gemacht hast?

12.04.2008, 20:06

999

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$\begin{eqnarray*} \frac{x^n + 42x^n * 42x^{-1} - 42x^n * 42x^{-1}}{x+42} \end{eqnarray*}$

12.04.2008, 20:11

tmo

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Hmm nein, das bringt dich leider nicht weiter.

Ziehe doch erstmal den Bruch $\begin{eqnarray*} \frac{(x^n+42x^{n-1})-42x^{n-1}}{x+42} \end{eqnarray*}$ entsprechend der Klamerung im Zähler auseinander.

12.04.2008, 20:25

999

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Also jetzt habe ich das hier raus:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^n + 42x^{n-1}}{x+42} - \frac{42x^{n-1}}{x+42} \end{eqnarray*}$

Dann habe ich für den ersten Bruch Polynomdivision durchgeführt und folgendes rausbekommen:
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x^{n-1} - \frac{42x^{n-1}}{x+42} \end{eqnarray*}$

13.04.2008, 01:29

tmo

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Den ersten Summand kannst du integrieren. Der zweite Summand ist integriert gerade $\begin{eqnarray*} 42I_{n-1} \end{eqnarray*}$

13.04.2008, 13:04

999

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Das versteh ich jetzt nicht ganz, ist mein letzter Term denn nun richtig? Also das mit dem Integrieren muss ich ausprobieren, aber was bedeutet denn das mit dem zweiten Summand, dass der gerade integriert 42I_n-1?

13.04.2008, 13:13

999

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Achso, also wenn das jetzt richtig ist, hab ich das so:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}~x^{n-1} - 42I_{n-1}~dx = \int_{0}^{1}~\frac{1}{n} * x^n - 42I_{n-1}~dx \end{eqnarray*}$

Ist das nun meine Rekursionsformel und kann ich damit den Startwert berechnen?

13.04.2008, 13:23

tmo

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$\begin{eqnarray*} \int f(x)+g(x)dx = \int f(x)dx + \int g(x)dx \end{eqnarray*}$

wende dies doch einfach mal auf $\begin{eqnarray*} \int_0^1 x^{n-1} - \frac{42x^{n-1}}{x+42}dx \end{eqnarray*}$ an.

Das ist jetzt eigentlich Schulmathematik verwirrt

verwirrt

13.04.2008, 13:56

AD

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Zitat:

Original von 999
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}~x^{n-1} - 42I_{n-1}~dx = \int_{0}^{1}~\frac{1}{n} * x^n - 42I_{n-1}~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I_{n-1} \end{eqnarray*}$ ist bereits das Integral - wieso integrierst du dann nochmal drüber? Ok, hier macht das nix, weil die Intervalllänge zufällig genau gleich Eins ist.

Aber sowas wie

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} ~ x^{n-1} ~ \dd x = \int_{0}^{1} ~ \frac{1}{n} * x^n ~ \dd x \end{eqnarray*}$

ist nun wirklich völliger Unsinn. Wenn du

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} ~ x^{n-1} ~ \dd x = \Bigg[ \frac{1}{n} * x^n \Bigg]_{x=0}^1 \end{eqnarray*}$

meinst, dann schreib es doch auch so! Deine Schreibweise ist nicht nur schlampig - sie ist regelrecht falsch.

13.04.2008, 14:21

999

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Türlich hatte ich nicht drüber nachgedacht...
Aber muss ich denn die 42I_n-1 auch integrieren? Das ist ja voll schwer?

13.04.2008, 14:24

AD

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Sag mal: Liest du überhaupt die Beiträge?

Zitat:

Original von Arthur Dent
$\begin{eqnarray*} I_{n-1} \end{eqnarray*}$ ist bereits das Integral - wieso integrierst du dann nochmal drüber?

13.04.2008, 14:38

999

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Natürlich lese ich die Beiträge, aber man muss ja auch nicht gleich alles verstehen...
Und ich verstehe gerade nicht mehr wirklich viel...

Habe das jetzt so:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}~x^{n-1} - \int_{0}^{1}~\frac{42x^{n-1}}{x+42}~dx ~dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \int_{0}^{1}~x^{n-1}~dx - \int_{0}^{1}~\frac{42x^{n-1}}{x+42}~dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow [\frac{1}{n}*x^n]^{1}_{0} - 42I_{n-1} \end{eqnarray*}$

So, wenn das jetzt nicht stimmt, dann weiß ich auch nicht...

13.04.2008, 14:41

tmo

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Abgesehen davon, dass in der ersten Zeile zweimal hintereinander dx steht, ist das jetzt richtig.

$\begin{eqnarray*} [\frac{1}{n}*x^n]^{1}_{0} \end{eqnarray*}$ kannst du natürlich noch berechnen.

13.04.2008, 16:23

999

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Na endlich, war ja ne schwere Geburt...

Ist das nun die Rekursionsformel, mit der ich den Startwert berechnen kann? Und wenn, wie mache ich das?

13.04.2008, 16:28

tmo

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Lies doch bitte mal die Beiträge

Zitat:

Original von tmo
PS: $\begin{eqnarray*} I_0 \end{eqnarray*}$ ist ganz leicht zu berechnen. Dazu brauchst du den Tipp von Arthur Dent keineswegs. Dieser ist nur für die Herleitung der Rekursionsformel gedacht.

$\begin{eqnarray*} I_0 = \int_{0}^{1}~\frac{x^0}{x+42}~dx \end{eqnarray*}$ . Ist das denn so schwer?

13.04.2008, 17:57

999

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Es ist schwer, weil ich keine Ahnung habe, wie mein Startwert aussehen soll, ist das eine Zahl, eine Gleichung oder was? Ich gehe die ganze Zeit davon aus, dass ich zum Schluss einen Wert haben muss...

13.04.2008, 18:03

Leopold

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$\begin{eqnarray*} I_0 = \int_0^1~\frac{1}{x+42}~\mathrm{d}x = \left[ \ln(x+42) \right]_0^1 = \ln 43 - \ln 42 = \ln \frac{43}{42} \end{eqnarray*}$

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