Wieviele Kugeln kommen zusammen?

15.10.2005, 14:50

well

Wieviele Kugeln kommen zusammen?

Einen schönen sonnigen Tag wünsche ich allen Lesern! :-)

Leider hab ich ein Problem:
Es gibt m verschiedene Spieler.
Jeder Spieler hat einen Behälter mit n verschiedenen Kugeln. Jede Kugel ist mit einer Zahl versehen. Ihre Nummerierung geht bis n, also 1, 2, 3, ..., n.
Jeder Spieler entnimmt jeweils r Kugeln aus seinem Behälter.
Die Spieler legen ihre Kugeln zusammen und zählen die Anzahl k der gezogenen Nummern. Wenn eine Kugelnummer mehrmals vorkommt, wird sie als 1 gezählt.

Um praktisch zu zeigen was gemeint ist, bringe ich dieses Beispiel:
3 Spieler (m=3)
7 Kugeln in jedem Behälter (n=7)
Jeder Spieler entnimmt 4 Kugeln (r=4)
Spieler 1 zieht aus seinem Behälter die Nummern 1, 2, 3 und 5.
Spieler 2 zieht aus seinem Behälter die Nummern 2, 3, 5 und 7.
Spieler 3 zieht aus seinem Behälter die Nummern 1, 3, 5 und 7.

Sie legen zusammen. Folgende Nummern wurden gezogen: 1, 2, 3, 5 und 7. Die Anzahl k der gezogenen Nummern ist somit 5.

Jetzt möchte ich aber wissen, wieviel gezogene Nummern k sich durchschnittlich in Abhängigkeit von m, n und r ergeben? Gibt es eine Formel dafür?

Schon mal herzlichen Dank fürs Beschäftigen mit dem Thema und für jeden Hinweis. :-)

15.10.2005, 15:42

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Déjà vu: Kurierdienst Rock

Auch die Lösung ist ganz ähnlich: Betrachte die Zufallsgrößen

$\begin{eqnarray*} X_k = \begin{cases} 1 & \;\mbox{falls}\; k \;\mbox{unter den gezogenen Nummern ist}\\ 0 & \;\mbox{sonst}\end{cases},\quad k=1,\ldots,n \end{eqnarray*}$

Dann suchst du gerade die Größe $\begin{eqnarray*} E(X_1+X_2+\cdots+X_n) \end{eqnarray*}$ . Man erhält somit unmittelbar

$\begin{eqnarray*} E(X_1+X_2+\cdots+X_n) = E(X_1)+E(X_2)+\cdots+E(X_n) = n\cdot E(X_1) = n\cdot P(X_1=1) \end{eqnarray*}$ ,

da alle Ziffern gleichberechtigt sind. Und das verbleibende $\begin{eqnarray*} P(X_1=1) \end{eqnarray*}$ ist ja nicht so schwierig zu berechnen.

15.10.2005, 20:45

well

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Wie die Zeit vergeht! Hallo, Arthur, freut mich Dich zu lesen!!! :-) Freude

Hm, ... ja damals mit dem Kurierdienst war es ja so, dass es sechs anzufahrende Hersteller gab (H = 6). Kunden bestellten Produkte von den Herstellern, die vom Kurierdienst abzuholen waren. Es gab unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten, dass eine Station anzufahren war. Und ich erhielt eine Formel, die in Abhängigkeit von den auszuführenden Bestellungen (= x) die Anzahl der anzufahrenden Hersteller berechnet.

Und jetzt soll es ähnlich sein? ... grübel, grübel, ...

Kugeln in Behälter = Hersteller ? , Spieler = Bestellungen ?

Wenn es nur darum ginge, dass m Spieler aus Behältern mit n Kugeln jeweils eine Kugel ziehen, dann wäre die durchschnittliche Anzahl der gezogenen Kugelnummern k = n - n * (1/n)^m bzw. k = n * ( 1 - (1/n)^m ).
Aber jeder Spieler entnimmt jedoch auch > 1 Kugeln, nämlich es gibt die Variable „Entnommene Kugeln (r)“. Beim Kurierproblem gab es nichts Analoges dazu.
Sorry, lange rumprobiert ... Ich stehe massiv auf dem Schlauch. unglücklich

15.10.2005, 21:03

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Ich kann dir nur nachdrücklich raten, meinen letzten Beitrag durchzulesen - und zwar alles, nicht nur den Hinweis auf den alten Thread. $\begin{eqnarray*} P(X_1=1) \end{eqnarray*}$ sollte doch nun wirklich nicht so schwer zu berechnen sein, bei deinen Erfahrungen mit ähnlichen Problemen. Vielleicht berechnest du ja auch erstmal das Gegenteil $\begin{eqnarray*} P(X_1=0) \end{eqnarray*}$ ...

16.10.2005, 07:48

well

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Guten Morgen Arthur.

Du machst es mir schwer. Aber wahrscheinlich zu meinem Besten. ;-)

Ich muss 2 Dinge korrigieren. Erstens ist die Ausgangsfrage so, dass der Spieler verschiedene Behälter hat, und zwar so viele wie er Kugeln zieht. Das bedeutet, dass die Wahrscheinlich eine bestimmte Kugel zu ziehen immer 1/n bleibt.

Aber ich denke, so hast Du es aufgefasst.

Zweitens hab ich bei meinem Lösungsansatz-Beitrag verschrieben. Die Formel für die durchschnittliche Anzahl der gezogenen Kugeln k ist nicht wie geschrieben k = n * ( 1 - (1/n)^m ) sondern natürlich k = n * ( 1 - (1-1/n)^m ). (n=Anzahl Kugeln; m=Anzahl Spieler).

Jetzt hab ich mir folgendes gedacht. Ich muss die Anzahl der Ziehungen betrachten und die ist immer Spieler*Anzahl Ziehungen pro Spieler (m*r). Somit haben m und r den gleichen Einfuss auf die durchnittliche Anzahl der gezogenen Kugelnummern und es müsste gelten:
$\begin{eqnarray*} k= n*(1-(1-\frac{1}{n})^{m*r}) \end{eqnarray*}$

Ist das richtig?

16.10.2005, 08:37

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Das würde $\begin{eqnarray*} P(X_1=0)\stackrel{?}{=}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{r\cdot m} \end{eqnarray*}$ entsprechen. Strukturell schon sehr nah an der Lösung, aber dennoch falsch.

Tipp: Die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel 1 bei einem Spieler nicht unter den ausgewählten Kugeln ist, beträgt $\begin{eqnarray*} \left(1-\frac{r}{n}\right) \end{eqnarray*}$ .

16.10.2005, 10:10

well

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Vielen Dank! :-)

Also so sieht dann die Formel aus:
$\begin{eqnarray*} k=n*(1-(1-\frac{r}{n})^{m}) \end{eqnarray*}$

Komisch. Vom "gesunden Menschenverstand her" erscheint meine Ableitung der Formel von heute früh, nämlich, dass nur die Anzahl der Ziehungen insgesamt von Interesse ist und m und r von daher gleich wirken, logisch.

Aber Deine Formel ist richtig, was ich an von mir eben durchegführten Rechenbeispielen sehe. Wenn beispielweise alle Kugeln von jedem Spieler gezogen werden, kommt nach meiner frühmorgentlichen Formel ein Ergebnis k heraus, dass kleiner als n ist. Was natürlich Quatsch ist, während nach obiger Formel in diesem Fall richtigerweise k = n wird.

Seltsam, wie ich mit meinem "gesunden Menschenverstand" so falsch liegen konnte. Hammer

16.10.2005, 11:23

well

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Kann es sein, dass

$\begin{eqnarray*} k=n*(1-(1-\frac{1}{n})^{m*r}) \end{eqnarray*}$

gilt, wenn eine unendliche Anzahl von Kugeln mit begrenzter Nummermierung in jeden Behälter ist. Also wenn n beispw. = 7 ist, also die Kugelnummern 1, 2, 3, 4, 5, 6 und 7 da sind, allerdings jeweils in unendlicher Anzahl?

Und

$\begin{eqnarray*} k=n*(1-(1-\frac{r}{n})^{m}) \end{eqnarray*}$

gilt, wenn jede Kugelnummer nur jeweils einmal pro Behälter und Spieler vorkommt?!

Wenn diese Überlegung stimmt, so müsste auch meine nachträgliche Korrektur, dass "jeder Spieler verschiedene Behälter hat, und zwar so viele wie er Kugeln zieht", gleichbedeutend sein mit einer unendlicher Kugelanzahl und somit müsste zweitgenannte Formel Geltung haben.

In meinem letzten Beitrag schloß ich hingegen auf die erstgenannte Formel infolge des Gedankenganges "Wenn alle Kugeln von jedem Spieler gezogen werden, kommt ... richtigerweise k = n [heraus]" Aber das gilt doch nur, wenn jeder Spieler nur einen Behälter hat, in dem jede Kugelnummer nur genau einmal vorkommt?!

Richtig? Eine Aufklärung würde mich sehr freuen! :-)

16.10.2005, 11:50

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Meine Güte, was für ein Chaos. Wenn man aber auch unbedingt mitten im Rennen die Pferde wechseln muss. unglücklich

Zitat:

Original von well
$\begin{eqnarray*} k=n\left( 1- \left(1-\frac{r}{n}\right)^{m}\right) \end{eqnarray*}$

Das ist die Lösung des Ausgangsproblems, ja.

Zitat:

Original von well
Ich muss 2 Dinge korrigieren. Erstens ist die Ausgangsfrage so, dass der Spieler verschiedene Behälter hat, und zwar so viele wie er Kugeln zieht. Das bedeutet, dass die Wahrscheinlich eine bestimmte Kugel zu ziehen immer 1/n bleibt.

Aber ich denke, so hast Du es aufgefasst.

Nein, hatte ich nicht - ist ja auch was anderes. Aber das kann in das Ausgangsproblem überführt werden mit $\begin{eqnarray*} m'=rm \end{eqnarray*}$ Personen, die jeweils nur $\begin{eqnarray*} r'=1 \end{eqnarray*}$ Kugel ziehen.
Mit dieser Änderung ist

$\begin{eqnarray*} k=n\left( 1- \left(1-\frac{1}{n}\right)^{r\cdot m}\right) \end{eqnarray*}$

richtig. Und ja, diese Formel gilt auch für m Spieler mit unendlich großen Kugelbehältern, in denen 1..n gleich oft vorkommen, und aus denen jeweils r-mal gezogen wird.

16.10.2005, 12:23

well

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Meine Güte, was für ein Chaos.

Hast Recht, sorry...

Vielen Dank für die Mühe und Aufklärung!

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