Problem Matrizennotation

15.10.2005, 15:08

brunsi

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Problem Matrizennotation

Hi ihr lieben, ich habe da mal ein Problem bei der richtigen Notation folgender Matrizenaufgabe:

Eine Bank hat im zurückliegenden Jahr folgende Ergebnisse in ihren 5 verschiedenen Filialen erwirtschaftet.

Info:Jede Spalte stellt eine Filiale dar!!

$\begin{eqnarray*} RD_{4x5}=\begin{pmatrix}1 & 1 & 7&8&4 \\ 4 &4&4&8&8\\2&5&9&4&8\\3&5&5&1&8\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aufgabe: Geben SIe eine geeignete PErmutationsmatrix C an, die mittels Matrizenmultiplikation dafür sorgt, dass in der Tabelle die Filialen in absteigender Reihenfolge gemessen an ihrer Handelsergebnis(also der 3 Zeile der Matrix) erscheinen. WIe sieht das Matrizenprodukt aus?

Mein Ansatz: $\begin{eqnarray*} RD_{4x5}\cdot C \end{eqnarray*}$

Meine Frage jetzt: wie müsste ich die PErmutationsmatrix C wählen? könntet ihr mir da noch mal helfen?

edit: ich meine ich könnte jetzte infach irgendeine Permutationsmatrix aufstellen, aber was bedeutet denn in diesem Fall eine geeignete Permutationsmatrix C????

15.10.2005, 16:08

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Steht klar und deutlich da, was geeignet ist:

Zitat:

Original von brunsi
Aufgabe: Geben SIe eine geeignete PErmutationsmatrix C an, die mittels Matrizenmultiplikation dafür sorgt, dass in der Tabelle die Filialen in absteigender Reihenfolge gemessen an ihrer Handelsergebnis(also der 3. Zeile der Matrix) erscheinen.

15.10.2005, 16:22

Clausthaler

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@ arthur dent

bin zwar nicht brunsi aber mich interessierts auch...

Ich versteh deinen Hinweis nicht, man muss doch ne Matrix C angeben, die dafür sorgt, dass die Spalten so vertauscht werden, dass sie nachher "richtig" geordnet sind. Die Frage ist doch nun wie sieht eine Matrix aus, die dafür sorgt, dass zwei Spalten vertauscht werden.

15.10.2005, 17:36

Sephiroth

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 \\ b_1 \\ c_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_2 \\ b_2 \\ c_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_3 \\ b_3 \\ c_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_3 & a_2 & a_1 \\ b_3 & b_2 & b_1 \\ c_3 & c_2 & c_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

na ja wenig Text, aber ich hoffe es hilft dir weiter

18.10.2005, 10:37

brunsi

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jup mir hilft das ganze jetzt weiter, daich auch vor dem problem gestanden habe und nciht wusset, wie ich sie anzuordnen habe.

das heißt also ich muss mir, falls ich nicht weiter weiß, einfach die Einheitsvektoren erst einmal so zusammenstellen, wie ich die Matrix gerne haben möchte?

Hab das lange nciht mehr gemacht und bin daher uas der Übung.

edit: das was du aber gemacht hast ist ja ncihts weiter asl eine Diagonalmatrix.

Wie sähe dass dann im konkreten Fall für die Permutationsmatrix aus? bitte erst abwarten, bis ich morgen die antwort reingepostet habe.

18.10.2005, 11:30

AD

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@brunsi:

Du irrst, $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist keine Diagonalmatrix, auch wenn der optische Anblick einen zu dieser Bezeichnung verleiten mag. Schau dir mal die Definition einer Diagonalmatrix an!

Allgemein ist eine Matrix genau dann Permutationsmatrix, wenn in jeder Zeile und jeder Spalte jeweils genau eine Eins steht, und ansonsten nur Nullen. Beim Dranmultiplizieren von rechts bewirkt eine solche Permutationsmatrix eine Spaltenvertauschung; beim Dranmultiplizieren von links dagegen eine Zeilenvertauschung.

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18.10.2005, 13:52

brunsi

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aber das ganze ist doch eine EInheitsmatrix???? verwirrt

verwirrt

edit: also benötige ich eine Permutationsmatrix, deren "Diagonale" von links nach rechts geht??

edit2: stimmt das ist keine Diagonalmatrix, da diese Matrix keine quadratische Matrix darstellt.

Also einen "Einheitsvektor" mehr und ich hätte eine Diagonalmatrix??

Willkommen

Willkommen

18.10.2005, 15:01

AD

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Zitat:

Original von brunsi
stimmt das ist keine Diagonalmatrix, da diese Matrix keine quadratische Matrix darstellt.

Nun wird's aber verrückt - wie kommst du darauf, dass $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ keine quadratische Matrix ist? geschockt

geschockt

Natürlich ist das eine quadratische Matrix, nur eben keine Diagonalmatrix, weil in einer Diagonalmatrix außerhalb der Hauptdiagonalen (welche von links oben nach rechts unten verläuft) nur Nullen stehen dürfen!

18.10.2005, 15:04

Sephiroth

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Als Diagonalmatrix bezeichnet man im mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra eine quadratische Matrix, bei der alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonale Null sind.

Zitat:

edit2: stimmt das ist keine Diagonalmatrix, da diese Matrix keine quadratische Matrix darstellt.

Welche Matrix meinst du jetzt? Eine 3x3-Matrix ist doch quadratisch.

Permutationsmatrix: na ja die muss jetzt nicht unbedingt symmetrich sein und die Werte in der Hauptdiagonale können auch Nullwerte annehmen.

18.10.2005, 15:07

brunsi

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also moment, kurze zusammenfassung:

das bedeutet also:

im allgemeinen fall ist eine Matrix:

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{2 }& a_3 \\ b_1 & b_{22} & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_{33} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

also immer, wenn dort wo die Indizes gleich sind(allgemeine Form) ein Wert $\begin{eqnarray*} \neq0 \end{eqnarray*}$ steht, dann ist es eine Diagonalmatrix??

18.10.2005, 15:14

Sephiroth

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Ich kann weder deine Aussage bejaen noch verneinen, weil ich sie nicht verstehe.

Das ist z.B. eine Diagonalmatrix. Für alle d1,d2,d3 aus R.
Auch die Nullmatrix oder die Einheitsmatrix sind demnach eine Diagonalmatrix.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} d_1 & 0 & 0 \\ 0 & d_2 & 0 \\ 0 & 0 & d_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

18.10.2005, 15:22

brunsi

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auch die Nullmatrix ist eine Diagonalmatrix?

wieso das? erkläre mir das bitte mal eben. also ist klar das z.B. $\begin{eqnarray*} A_{3x3}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ eine quadratische Matrix ist. Aber ich adchte, dass die Hauptdiagonale immer werte haben muss, die von 0 verschieden sind? verwirrt

verwirrt

18.10.2005, 15:25

AD

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Die Nullmatrix ist auch eine Diagonalmatrix, ja - wieso auch nicht?

18.10.2005, 15:26

Sephiroth

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Tja ich hab nicht festgelegt welche Matrizen man als Diagonalmatrix bezeichnen
darf und welche nicht. Ist halt eine allgemeine Konvention. Guckst du hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Diagonalmatrix

18.10.2005, 15:36

brunsi

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achso jetzt habe ich die definition glaube ich durchblickt. Eine Matrix ist eine Diagonalmatrix, wenn sie eine quadratische Matrix ist und wenn ihre Komponenten allesamt den Wert 0 außerhalb der Hauptdiagonalen annehmen.

Das man eine Diagonalmatrix also über die Hauptdiagonale definiert ist demnach nciht der Fall?
Soll heißen, dass die Hauptdiagonale nicht den Wert 0 annehmen darf, was ja durch die Nullmatrix wiederlegt ist. Es also nur darauf ankommt, dass die Komponenten außerhalb der Hauptdiagonalen den Wert 0 annehmen?!!

19.10.2005, 09:05

brunsi

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habt ihr zufällig noch einen link zu permutationsmatrizen?

ich müsste mir das auch noch einmal erneut anschauen, daich wie gesagts chons ehr lange dort raus war und nun mich zwangsweise wieder dort einlesen muss, wiel unser PRof Aufgaben stellt, die man eigentlich auch mit ganz einfachen Grundrechenarten hinbekommt, aber die WIR mit Vektoren und Matrizen lösen sollen.

Hier war ja die Aufgabe mit der PErmutationsmatrix gefragt, wie stellt man so eine auf. Kann man das irgendwo nachlesen?

edit: sorry für den doppelpost.

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