Quotientenkriterium falsch verstanden?

15.10.2005, 20:35

f(x)

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Quotientenkriterium falsch verstanden?

Hallo!
Das Quotientenkriterium zur Konvergenz von Reihen lautet doch:
$\begin{eqnarray*} \mid \frac{a[n+1]}{a[n]} \mid \leq q < 1 \end{eqnarray*}$

Aber die harmonische Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~ \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ konvergiert doch auch nicht, obwohl doch $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{n+1} }{ \frac{1}{n} }= \frac{n}{n+1} \end{eqnarray*}$ <1 gilt.
Habe ich das Kriterium falsch verstanden?

15.10.2005, 21:05

Mathespezialschüler

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Du hast es doch selbst hingeschrieben! Es muss ein $\begin{eqnarray*} q<1 \end{eqnarray*}$ geben, sodass

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<q \end{eqnarray*}$

bleibt für fast alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ . Dass der Quotient stets kleiner als 1 ist, reicht absolut nicht aus!

Gruß MSS

15.10.2005, 21:57

f(x)

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Achso!
Also muss $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \mid \frac{a[n+1]}{a[n]} \mid <1 \end{eqnarray*}$ gelten?

15.10.2005, 22:20

Mathespezialschüler

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Naja, der Limes muss ja nicht existieren. Wenn er existiert, dann ja, das muss gelten, um das Kriterium anzuwenden. Allgemeiner (also auch für Fälle, bei denen die Folge der Quotienten nicht konvergiert) ist die Ungleichung

$\begin{eqnarray*} \limsup_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<1 \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

15.10.2005, 22:29

f(x)

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Was bedeutet der Limes Superior?

Häufungspunkt, glaube ich.
Aber was ist das nochmal?

Danke für deine Antworten.

15.10.2005, 22:34

Mathespezialschüler

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Wikipedia hilft.
Ja, es ist der größte Häufungswert.

Gruß MSS

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15.10.2005, 23:17

f(x)

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Ich habe das nicht ganz verstanden.
Heißt das, dass z.B. für die Folge $\begin{eqnarray*} a_{k} = \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$
0 der $\begin{eqnarray*} limsup \end{eqnarray*}$ und alle anderen Werte (Wie 0.5 , 0.333 , 0.1) der $\begin{eqnarray*} liminf \end{eqnarray*}$ sind,
weil ja unendlich viele Folgeglieder innerhalb des Epsilon-Bereichs von 0 sind, aber nur endlich viele außerhalb?

15.10.2005, 23:19

Mathespezialschüler

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Für eine konvergente Folge $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} \limsup_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}a_n=\liminf_{n\to\infty}a_n \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

16.10.2005, 13:49

f(x)

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Aber wenn eine Folge $\begin{eqnarray*} (a_{n}) \end{eqnarray*}$ nicht konvergiert, existiert doch auch kein Häufungspunkt, also kein $\begin{eqnarray*} \limsup_{n \to \infty} a_{n} \end{eqnarray*}$ , oder?

Was bedeutet eigentlich diese Schreibweise?

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} ( \inf_{m \geq n} x_{m} ) \end{eqnarray*}$

Nochmals danke für deine Hilfsbereiitschaft. Freude

Freude

16.10.2005, 15:26

Mathespezialschüler

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Naja, wenn sie nicht konvergiert, dann kann schon der Limes superior existieren! Eine Möglichkeit ist, dass mehrere Häufungswerte existieren und die andere ist, dass die Folge bestimmt divergiert.
Zur Schreibweise: Sei $\begin{eqnarray*} (x_m)_{m\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ eine Folge und

$\begin{eqnarray*} y_n:=\inf_{m\geq n}x_m \end{eqnarray*}$ .

Dann steht $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\left(\inf_{m\geq n}x_m\right) \end{eqnarray*}$ einfach für $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}y_n \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

16.10.2005, 15:47

f(x)

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Wenn eine Folge $\begin{eqnarray*} (a_{n}) \end{eqnarray*}$ bestimmt divergiert, existiert aber kein $\begin{eqnarray*} \limsup_{n \to \infty} a_{n} \end{eqnarray*}$ , oder?

Was bedeutet denn $\begin{eqnarray*} \inf_{m \geq n} x_{m} \end{eqnarray*}$ ?

16.10.2005, 16:50

Mathespezialschüler

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Naja, man kann ja $\begin{eqnarray*} \limsup_{n\to\infty}a_n=+\infty \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \limsup_{n\to\infty}a_n=-\infty \end{eqnarray*}$ setzen. Er existiert dann aber in der Tat nur uneigentlich.
Und: $\begin{eqnarray*} \inf_{m\geq n}x_m=\inf\{x_m\ |\ m\geq n\} \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

16.10.2005, 18:40

f(x)

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Bedeutet der Term das Infimum von der Folge $\begin{eqnarray*} x_{m} \end{eqnarray*}$ ?
Und wozu das $\begin{eqnarray*} m\geq n \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

verwirrt

16.10.2005, 20:51

Mathespezialschüler

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Nein, das Infimum der Folge, wobei wir erst ab einem bestimmten Index anfangen. Und der $\begin{eqnarray*} \liminf \end{eqnarray*}$ ist dann der Limes dieser Infima.

Gruß MSS

17.10.2005, 12:43

f(x)

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Bedeutet das für zB. die Folge $\begin{eqnarray*} x_{m} \end{eqnarray*}$ mit der expliziiten Definition $\begin{eqnarray*} x_{m} = m^2 \end{eqnarray*}$ ,
dass $\begin{eqnarray*} \inf_{m \geq n} x_{m} = 9 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$ gilt?

Denn es gibt ja kein Folgenglied $\begin{eqnarray*} <9 \end{eqnarray*}$ für einen Index $\begin{eqnarray*} \geq 3 \end{eqnarray*}$

17.10.2005, 15:36

Mathespezialschüler

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Ja, genau.

Gruß MSS

17.10.2005, 16:39

f(x)

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Aha!
Also existiert bei einer bestimmt divergenten Folge $\begin{eqnarray*} x_m \end{eqnarray*}$ auch kein $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} {( \inf_{m \geq n} x_m )} \end{eqnarray*}$ ,

weil mit diesem Term nur das "unendlichste" Infimum gemeint ist und das liegt dann ja auch im Unendlichen. Richtig?

17.10.2005, 17:31

Mathespezialschüler

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Ja, es ist sozusagen

$\begin{eqnarray*} \liminf_{n\to\infty}x_n=+\infty \end{eqnarray*}$ ,

falls $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ bestimmt gegen $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ divergiert.

Gruß MSS

17.10.2005, 17:48

f(x)

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Also gilt auch $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} {(\inf_{m \geq n} x_m)} = \liminf_{n \to \infty} x_n \end{eqnarray*}$ .

Wenn das stimmt, habe ich erst einmal keine Fragen mehr an dich.

17.10.2005, 18:29

f(x)

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Ich habe doch noch eine Frage:

Es muss doch eigentlich für jede Folge $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ immer gelten: $\begin{eqnarray*} \limsup_{n \to \infty} x_n = \liminf_{n \to \infty} x_n \end{eqnarray*}$

Wenn $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ konvergiert, gilt das. Das weiß ich ja schon.

Aber auch bei Divergenz von $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ gilt das doch auch, weil sowohl $\begin{eqnarray*} \limsup \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} \liminf \end{eqnarray*}$ divergieren, oder?

Aber wo ist dann der Unterschied zwischen $\begin{eqnarray*} \limsup \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \liminf \end{eqnarray*}$ ?

17.10.2005, 19:00

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von f(x)
Also gilt auch $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} {(\inf_{m \geq n} x_m)} = \liminf_{n \to \infty} x_n \end{eqnarray*}$ .

Das ist eine Definition, siehe weiter oben.

Und zur zweiten Frage: Divergenz bedeutet ja noch lange nicht, dass die Folge bestimmt divergiert, sonst wäre einer der beiden Begriffe ja überflüssig. Es gibt noch ganz andere Arten von Divergenz, z. B. die Folge

$\begin{eqnarray*} a_n=(-1)^n \end{eqnarray*}$

oder etwas ausgefallener solch ein Konstrukt:

$\begin{eqnarray*} a_n=\begin{cases}\sqrt[n]{n} & \text{für }n=3k+1 \\ \frac{2n^2+7n}{6-5n^2} & \text{für }n=3k+2 \\ n^2 & \text{für }n=3k+3\end{cases}\qquad\qquad k\in\mathbb N_0 \end{eqnarray*}$ .

Oder, was noch viel schöneres ist:

$\begin{eqnarray*} a_n=\sin n \end{eqnarray*}$ ,

diese Folge divergiert nämlich und jeder Wert aus $\begin{eqnarray*} [-1,1] \end{eqnarray*}$ ist Häufungswert der Folge und es gilt somit

$\begin{eqnarray*} \limsup_{n\to\infty}a_n=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \liminf_{n\to\infty}a_n=-1 \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

17.10.2005, 20:14

f(x)

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Okay, danke!

Ich denke, jetzt sind alle Fragen geklärt. Tanzen

Tanzen

Aber die Definition $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} {(\inf_{m \geq n} x_m)} = \liminf_{n \to \infty} x_n \end{eqnarray*}$ habe ich oben nicht mehr gefunden.

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