Beweis : Additionstheorem der Binomialkoeffizienten

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Sunwater Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis : Additionstheorem der Binomialkoeffizienten
Die Aufgabe:

Zeigen sie durch vollständige Induktion nach n das sog.
Additionstheorem der Binomialkoeffizienten:

=

a, b sind reelle Zahlen!

Der Induktionsanfang ist mir klar. Mit fehlt aber irgendwie das Verständnis wie ich Binomialkoeffizienten umformen kann.

danke im Vorraus

Sunwater
lego Auf diesen Beitrag antworten »

ich weiß nicht ob das hier umbedingt zum ziel führt habs nicht selbst gerechnet, aber vielleicht kannst du



verwenden
Sunwater Auf diesen Beitrag antworten »

ne das bringt mich nicht viel weiter - ich hab ja schon einiges versucht, aber ich schaff es nicht beim Induktionsschritt den linken Teil vom "=" wieder zu isolieren um es einzusetzen - aber ich glaube, das ich dahin kommen muss...
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zeig doch erstmal, was du schon gemacht hast!

Gruß MSS
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Sei , nachweisen willst du . Den Induktionsanfang hast du schon.

Dann will ich mal einen Anstoß für den Induktionsschluss geben:

.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Verschoben
 
 
Sunwater Auf diesen Beitrag antworten »

ich komm trotzdem nicht weiter... - ich habe jetzt versucht aus beiden Summen die letzten Summanden abzuspalten ( einmal 0 und einmal (n+1)* )
Jetzt läuft der Index schonmal von k=0 bis n.
Als nächstes müsste ich doch die beiden Summen so umformen, dass ich die Induktionsvorraussetzung einsetzen kann, oder?
Wie könnte denn noch geschrieben werden? - ich habe keine Ahnung wie der vorletze Schritt aussehen soll ( hab's auch schonmal rückwärts versucht - aber der fehlt jeglicher Ansatz... )

ich hab ja auch das Gefühl, dass die eckigen Klammern noch was bedeuten
- sie haben ja ne gute Form um folgende Formel anzuwenden:
k* = *(n+1-k) .
Aber was bringt mir das? - es vereinfacht auch nichts. Also was bedeuten die eckigen Klammern?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Und ich dachte, das wäre nach der Klammersetzung offensichtlich - da habe ich mich wohl getäuscht. Na egal:

Sunwater Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wusste nicht, das dieses Gesetz gilt, aber ich hab's jetzt raus...
vielen vielen Dank.

gibt es irgendwo eine gute Auflistung über die Rechengesetze von Binomialkoeffizienten? oder muss man sich das alles selbst überlegen?

jedenfalls danke...
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Der Begriff "Gesetz" scheint mir für diese einfachen Umformungen in meinem letzten Beitrag etwas hochtrabend - hier wird doch nur die Definition des Binomialkoeffizienten benutzt und die Produkte in Zähler und Nenner mal etwas anders gruppiert. Siehe auch

Beweis für Binominalkoeffizientenrechnung
frage Auf diesen Beitrag antworten »

Habe gerade mit demselben Problem zu tun. Wie kommt man denn darauf, S_n+1 mit n+1 zu multiplizieren? Und wie folgt aus den von Arthur Dent gegebenen Tipps der Induktionsschritt? Stehe da gerade irgendwie auf der Leitung...
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dass man so vorgehen kann, wie ich vorgegangen bin, steht außer Frage - der Erfolg gibt mir recht, auch wenn er momentan noch nicht zu sehen ist, da ich ja nicht alles verrate (Boardprinzip!). Aber warum ich so vorgegangen bin, das geht in den Bereich der Heuristik:

Schauen wir uns mal die Struktur in der Induktionsbehauptung an, und da insbesondere die Summe der unteren Glieder der beiden Binomialkoeffizienten. Die ist gleich (n+1), d.h. konstant bezüglich des Summationsindex k. Das ist die entscheidende Strukturinformation über den Aufbau dieser Summe!

Eine ähnliche Summe von Binomialkoeffizientenprodukten taucht nun ja auch in der Induktionsvoraussetzung auf, nur das hier die Summe dieser unteren Glieder gleich n ist. Also liegt doch der Gedanke nahe, diese unteren Glieder im Falle der Induktionsbehauptung irgendwie um 1 zu reduzieren, und das für alle k, so dass dann die Induktionsvoraussetzung zum Einsatz kommen kann! Und genau das habe ich in der Folge getan.
frage Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Erklärung, habe es jetzt auch verstanden
Schusterjunge Auf diesen Beitrag antworten »

Kann man dann sagen, dass:

gilt?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Da gilt, wird das schon stimmen. Augenzwinkern

Ich würde an deiner Stelle hier aber nicht mit Fakultäten operieren - schließlich dürfen und hier beliebig reell sein, und da ist die Fakultätsfunktion nicht definiert! unglücklich
Schusterjunge Auf diesen Beitrag antworten »

Oh schön dann krieg ich bei der Aufgabe nich mal den Induktionsanfang hin. unglücklich
Auch nich weiter schlimm. Danke dir aufjeden Fall erstmal

MfG
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