Jule und Fische

16.10.2005, 13:05

kurellajunior

Jule und Fische

Einfaches Spiel und ein grübelnder Jan:

Verwendet werden 7 Würfel. Nach jedem Wurf muss mindest ein Würfel beiseite gelegt werden. Wenn kein Würfel beiseite gelegt werden kann sind alle bisher beiseite gelegten Würfelpunkte verloren. Das nenne ich einen Fisch Augenzwinkern

Herausgelegt werden dürfen jedoch nur die folgenden Punkte:
$\begin{eqnarray*} 5&&50\\1&&100\\222&&200\\333&&300\\444&&400\\555&&500\\ 666&&600\\111&&1000\\123456&&3000 \end{eqnarray*}$
Die Frage, die mich schon eine Weile beschäftigt ist nun die Zuordnung $\begin{eqnarray*} \{1;2;3;4;5;6;7\}\to[0;1] \end{eqnarray*}$ (Anzahl der Würfel auf Wahrscheinlichkeit eines Fisches.)
Für die ersten Fälle ist es einfach:
$\begin{eqnarray*} P_\text{Fisch}(1)&=&\frac{2}{3}\\ P_\text{Fisch}(2)&=&\frac{4}{9}\\ P_\text{Fisch}(3)&=&\frac{8}{27}-4\cdot\frac{2}{3\cdot 6\cdot 6}=\frac{6}{27} \end{eqnarray*}$
Aber ab hier bin ich für die Systematik wieder zu doof. Alles von Hand zu zählen hab'sch keene Lust. Jemand ne Idee, wo ich ansetzen muss?

16.10.2005, 13:18

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RE: Jule und Fische
Hmmm, wenn das oben alle Regeln sind, dann muss ich schon mal eine Korrektur anbringen:

$\begin{eqnarray*} P_\text{Fisch}(3)&=&\frac{8}{27}-\frac{4}{6^3}=\frac{5}{18} \end{eqnarray*}$

EDIT: Allgemeiner Ansatz:

$\begin{eqnarray*} P_\text{Fisch}(n)&=&\left(\frac{2}{3}\right)^n-\frac{\left|A_{n,2}\cup A_{n,3}\cup A_{n,4}\cup A_{n,6}\right|}{6^n} \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} A_{n,k} \end{eqnarray*}$ ... Menge der geordneten n-Tupel $\begin{eqnarray*} (w_1,\ldots,w_n)\in \{ 2,3,4,6 \}^n \end{eqnarray*}$ mit mindestens dreimal $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} n\geq 4\cdot 2+1=9 \end{eqnarray*}$ ist natürlich $\begin{eqnarray*} P_\text{Fisch}(n)=0 \end{eqnarray*}$ . Aber für so große $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist das ja für dich sowieso nicht mehr interessant. Augenzwinkern

16.10.2005, 13:36

kurellajunior

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*Denk* Danke, doppelt vervierfacht... Ok, aber wie jetzt weiter für $\begin{eqnarray*} P_\text{Fisch}(4) \end{eqnarray*}$ ? Der Anfang ist klar und dann die Dreier abziehen, mmh.
$\begin{eqnarray*} P_\text{Fisch}(4)= \left(\frac{2}{3}\right)^4-\frac{4\cdot4\cdot3}{6^4} \end{eqnarray*}$
Stimmt das soweit? 4 Zahlen, 4 Anordnungen (1*1*1*3)
Der 7er ist einfach Augenzwinkern

. An dem wollte ich das Konzept testen, weils ja das gleiche sein soll.
$\begin{eqnarray*} P_\text{Fisch}(7)=\frac{8}{6^7} \end{eqnarray*}$

Edit: $\begin{eqnarray*} A_{n,k} \end{eqnarray*}$ ... Menge der geordneten n-Tupel $\begin{eqnarray*} (w_1,\ldots,w_n)\in \{ 2,3,4,6 \}^n \end{eqnarray*}$ mit mindestens dreimal $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ .
Das müsste mir jetzt was sagen, oder steckt genau hier der Knackpunkt?

16.10.2005, 13:44

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Da bin ich schon wieder anderer Meinung: Bei einem 7er-Fisch kommen genau drei der vier kritischen Augenzahlen 2,3,4,6 genau zweimal vor, und genau eine nur einmal.

Macht vier Möglichkeiten für die Auswahl der einen einzelnen Augenzahl, und dann $\begin{eqnarray*} \frac{7!}{2^3} \end{eqnarray*}$ Permutationen. Insgesamt also $\begin{eqnarray*} P_\text{Fisch}(7)=\frac{2520}{6^7} \end{eqnarray*}$

16.10.2005, 13:59

kurellajunior

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:kratz: Ich sollte wohl wieder zur Schule gehen...
Stimme zu, stimmt auch viel eher mit der subjektiven Wahrnehmung der Häufigkeit eines solchen "Anfangsfisches" überein. Ach menno.
Ich verscuh mich also mal an den geordneten n-Tupeln

4-Tupel mit min. 3 2en: $\begin{eqnarray*} 4!\cdot\frac{1\cdot 1\cdot 1\cdot 4}{6^4} \end{eqnarray*}$
Falls der Ansatz stimmt wäre dann
$\begin{eqnarray*} A_{n,2}=n!\cdot\frac{1^3\cdot 4^{n-3}}{6^n} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^4~A_{n,k}=4n!\cdot\frac{1^3\cdot 4^{n-3}}{6^n} \end{eqnarray*}$

Hab ich hier auch einen Fehler?

16.10.2005, 14:24

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Ist nicht dein Tag heute. $\begin{eqnarray*} A_{n,2} \end{eqnarray*}$ kann man ja fast noch abzählen:

(2,2,2,3) , (2,2,2,4), (2,2,2,6) und jeweils Permutationen davon (also mal 4)

(2,2,2,2) - gibt es natürlich nur einmal.

Also ist $\begin{eqnarray*} \left|A_{4,2}\right|=13 \end{eqnarray*}$ und folglich

$\begin{eqnarray*} P_\text{Fisch}(4) = \left(\frac{2}{3}\right)^4-\frac{4}{6^4}\left|A_{4,2}\right|= \frac{51}{324} \end{eqnarray*}$ .

Ich geb gleich mal noch die anderen Werte an, eine richtige Systematik ist mir da aber noch nicht eingefallen - ist viel Handarbeit nötig:

$\begin{eqnarray*} P_\text{Fisch}(5) = \frac{25}{324},\quad P_\text{Fisch}(6) = \frac{5}{162},\quad P_\text{Fisch}(7) = \frac{35}{3588} \end{eqnarray*}$ .

16.10.2005, 14:44

kurellajunior

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Zitat:

Original von Arthur Dent
ist viel Handarbeit nötig:

Grumpfl und die hast Du jetzt gemacht - das war eigentlich nicht mein Plan. Danke Dir vielmals, ich werd's mir irgendwo hinschreiben...

Also doch wieder Handarbeit bei der Wahrscheinlichkeit. Danke Dir nochmals...

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