Induktionsbeweis (Ungleichung)

16.10.2005, 16:09

Katha2

Induktionsbeweis (Ungleichung)

Hi zusammen,

bei dem folgenden Induktionsbeweis bin ich mir nicht ganz sicher und würde gerne mal wissen ob das so stimmt:

Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} a \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0 < a < 1 \end{eqnarray*}$ . Zeige, daß für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ folgende Ungleichung gilt:
$\begin{eqnarray*} (1+a)^n \leq 1 + (2^n - 1)a \end{eqnarray*}$

Ich habe dann mit $\begin{eqnarray*} n_0 = 1 \end{eqnarray*}$ angefangen und erhalte:
$\begin{eqnarray*} 1+a \leq 1+a \end{eqnarray*}$ (w)

Dann mit $\begin{eqnarray*} n = n_0 + 1 \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} (1+a)^{n+1} \leq 1 + (2^{n+1} - 1)a \end{eqnarray*}$

Zum Beweis habe ich dann zu $\begin{eqnarray*} (1+a)^n \leq 1 + (2^n - 1)a \end{eqnarray*}$ auf beiden Seiten $\begin{eqnarray*} (1+a)^1 \end{eqnarray*}$ multipliziert und erhalte:

$\begin{eqnarray*} (1+a)^{n+1} \leq 1 + (2^n + (2^n - 1)a)a \end{eqnarray*}$

Kann ich das jetzt so stehen lassen und stimmt das überhaupt?

Danke,

Katha

16.10.2005, 16:56

Mathespezialschüler

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Ist richtig. Du musst das jetzt einfach noch nach oben abschätzen. Es geht übrigens auch ohne Induktion relativ direkt.

Gruß MSS

16.10.2005, 20:34

Katha2

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Hi,

erstmal danke!
Wie geht das denn ohne Induktion? Ich habe da leider noch nicht so viel Erfahrung mit Beweisen, etc. .

Ich hatte schon mal "scherzhaft" $\begin{eqnarray*} a \to 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a \to 1 \end{eqnarray*}$ ausgerechnet - aber das bringt ja nicht wirklich was weil das ja nichts beweist unglücklich

Ich habe auch daran gedacht, daß $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ stets kleinergleich $\begin{eqnarray*} (2^n-1)a \end{eqnarray*}$ ist - aber auf der linken Seite steht ja noch ^n und ich müßte wieder was beweisen...

Schönen Gruß,

Katha

16.10.2005, 20:56

Mathespezialschüler

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Naja, du musst ja jetzt nur noch zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} 1+(2^n+(2^n-1)a)a\leq 1+\left(2^{n+1}-1\right)a \end{eqnarray*}$

gilt. Multipliziere doch einfach auf der linken Seite mal aus und nutze dann $\begin{eqnarray*} a<1 \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

17.10.2005, 15:16

Katha2

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Dann erhalte ich

$\begin{eqnarray*} 1 + (2^n + a2^n - a)a \leq 1 + (2^{n+1} - 1)a \end{eqnarray*}$

Also muß:

$\begin{eqnarray*} 2^n + a2^n -a \leq 2^n * 2^1 - 1 \end{eqnarray*}$

was wahr ist.

Ich habe dich übrigens so verstanden, daß man die ganze Aufgabe komplett ohne Induktion lösen könnte... verwirrt

Ciao,

Katha

17.10.2005, 15:38

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Katha2
$\begin{eqnarray*} 2^n + a2^n -a \leq 2^n * 2^1 - 1 \end{eqnarray*}$

Fast, es muss

$\begin{eqnarray*} 2^n+a\cdot 2^n-a\leq 2^n\cdot 2^1-a \end{eqnarray*}$

sein. Du musst noch begründen, warum das gilt.

Zitat:

Original von Katha2
Ich habe dich übrigens so verstanden, daß man die ganze Aufgabe komplett ohne Induktion lösen könnte... verwirrt

Da hast du mich richtig verstanden.

Gruß MSS

17.10.2005, 18:43

Katha2

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
$\begin{eqnarray*} 2^n+a\cdot 2^n-a\leq 2^n\cdot 2^1-a \end{eqnarray*}$

Tut mir leid wenn ich auf der Leitung stehe - aber warum "-a" auf der rechten Seite? Ich habe die Ungleichung so betrachtet:
$\begin{eqnarray*} 1 + (A)*a \leq 1 + (B)*a \end{eqnarray*}$
Also muß $\begin{eqnarray*} A \leq B \end{eqnarray*}$ sein, oder nicht?

Die Begründung wäre einfach: da $\begin{eqnarray*} a \in ]0;1[ \end{eqnarray*}$ wird zum linken $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ stets weniger hinzuaddiert als zum rechten, oder kürzer: Da $\begin{eqnarray*} a \in ]0;1[ \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} a*2^n < 2^n*2 \end{eqnarray*}$ .

Danke für deine Geduld smile

Katha

17.10.2005, 18:47

Katha2

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Ich hab bei der Begündung noch was vergessen. So meinte ich das:

$\begin{eqnarray*} 2^n + a2^n < 2^n * 2 \end{eqnarray*}$

17.10.2005, 19:10

Mathespezialschüler

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Ok, das war ein Fehler von mir, sorry.
Ja, richtig. Aus $\begin{eqnarray*} a<1 \end{eqnarray*}$ folgt natürlich $\begin{eqnarray*} 2^n\cdot (1+a)<2^n\cdot 2 \end{eqnarray*}$ . Aber das reicht nicht! Denn damit bekommen wir nur

$\begin{eqnarray*} 2^n+a\cdot 2^n-a\leq 2^n\cdot 2^1-a \end{eqnarray*}$ ,

wir wollen aber

$\begin{eqnarray*} 2^n+a\cdot 2^n-a\leq 2^n\cdot 2^1-1 \end{eqnarray*}$

haben. Dass die letzte Ungleichung richtig ist, solltest du sehen, wenn du sie etwas umstellst.

Gruß MSS

17.10.2005, 21:24

Katha2

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Ich würde dann alles auf eine Seite bringen:

$\begin{eqnarray*} -2^n + a2^n - a + 1 \leq 0 \end{eqnarray*}$

Und zusammenfassen:

$\begin{eqnarray*} (2^n - 1) * (a - 1) \leq 0 \end{eqnarray*}$

Da der erste Faktor stets positiv, der zweite stets negativ ist, ist die Ungleichung wahr. Gott

Könntest du mir einen Tipp geben wie das ganze jetzt eleganter, ohne Induktion, geht? Hilfe

(Hoffe ihr haltet mich nicht für doof - aber wir haben das in der Schule noch garnicht gemacht...)

Grüße,

Katha

17.10.2005, 21:40

Mathespezialschüler

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Du kennst doch sicher die geometrische Summenformel:

$\begin{eqnarray*} 1+q+q^2+\ldots+q^{n-1}=\sum_{k=0}^{n-1}~q^k=\frac{q^n-1}{q-1} \end{eqnarray*}$

Daraus folgt mit $\begin{eqnarray*} q=1+a \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \frac{(1+a)^n-1}{a}=\frac{(1+a)^n-1}{(1+a)-1}=\sum_{k=0}^{n-1}~(1+a)^k \end{eqnarray*}$ .

Jetzt versuche mal, das abzuschätzen! Augenzwinkern

Gruß MSS

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