Mengenalgebra

16.10.2005, 18:55

Teilmenge

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Mengenalgebra

Hallo,hat irgendwer mal Langeweile und kann mir helfen?Also nicht ganz lösen sondern nur sagen wie es so ungefähr geht...

Jede Aussage ist mit Argumenten (Beweisen) zu belegen. Falls eine Aus-
sage nicht gilt, genügt es, ein Gegenbeispiel anzugeben.

1. Geben Sie die folgenden Mengen an:
a) [1; 4] \ [2; 6], b) [1; 4] [ [2; 6], c) [1; 4]x[2; 6], d) [1; 4]x]1; 4[,
e) $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ \] - 1; 1[

2.
c) Stellen Sie die Menge S1 x $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ geometrisch dar. (S1 ist der Kreis vom Radius 1.)
d) Welches Autoteil bringen Sie mit der Menge S1xS1 in Verbindung?

16.10.2005, 19:17

irre.flexiv

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Was für Aussagen, ich seh keine.

Sollen sich die Intervalle aus 1. alle auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ beziehen?
Was meinst du mit b) ?

17.10.2005, 16:36

flixgott

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ich glaube das läuft darauf hinaus (lösung für aufgabe a) als beispiel):

$\begin{eqnarray*} \{x| x \in \mathbb R \wedge x \in [1,4] \wedge x \notin [2,6]) \}\{x| x \in \mathbb R \wedge x \in [1,2) \} = \{x| x \in \mathbb R \wedge 1 \leq x < 2 \} \end{eqnarray*}$

17.10.2005, 17:43

AD

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2d) ist nett formuliert. Big Laugh

Big Laugh

18.10.2005, 16:02

flixgott

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d) verstehe ich nicht.. und was ist DER kreis mit radius 1?

18.10.2005, 16:04

brunsi

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Kreis mit Radius 1 ist der EInheitskreis Big Laugh

Big Laugh

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18.10.2005, 16:46

Leopold

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Arthur ist ein bißchen gemein. Für den Fachmann ist natürlich sofort klar, was bei 2d) gemeint ist. Für einen Anfänger ohne tiefere Topologiekenntnisse scheint mir das aber relativ schwer. Man könnte einmal unter dem Stichwort "Torus" googeln oder wikipedieren oder bei http://www.mathworld.wolfram.com nachschauen ...

18.10.2005, 17:35

papahuhn

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Der Einheitskreis ist doch ne Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ . Dann wäre $\begin{eqnarray*} S_1 \times S_1 \subseteq \mathbb{R}^4 \end{eqnarray*}$ . Seit wann werden in Autos vierdimensionale Teile verbaut???

18.10.2005, 17:55

Leopold

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Der Kreis (die Kreislinie ist gemeint!) ist 1-dimensional (auch wenn er als Figur im zweidimensionalen Raum liegt).

18.10.2005, 17:56

papahuhn

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Und was nehm ich dann? Die x-Koordinaten des Einheitskreises? Das macht doch keinen Sinn.

18.10.2005, 17:59

Leopold

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Schau doch einmal unter meinem Google-Vorschlag nach.

18.10.2005, 18:08

papahuhn

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Hab ich getan. Ich weiß auch, wie ein Torus aussieht, aber ich verstehe nicht, wie das das Kreuzprodukt von zwei Kreislinien sein soll. Ich sehe nicht, wie man eine Kreislinie als Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ auffassen soll.

Btw: Ich bin nicht "Teilmenge", falls du das denken solltest. smile

smile

18.10.2005, 18:21

AD

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Das ist ja auch eher so gemeint, dass ein Diffeomorphismus zwischen $\begin{eqnarray*} S_1\times S_1 \end{eqnarray*}$ und der Torusoberfläche existiert.

EDIT: Habe ich wohl etwas übertrieben, Homöomorphismus reicht. Danke, Leopold.

18.10.2005, 18:25

Leopold

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In der Topologie werden "Figuren" als gleich angesehen, wenn sie durch umkehrbar eindeutige stetige Deformation ineinander übergeführt werden können (Fachbegriff: homöomorphe topologische Räume).

Du kannst daher $\begin{eqnarray*} S^1 \times S^1 \end{eqnarray*}$ durchaus als Teilmenge des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^4 \end{eqnarray*}$ auffassen, mußt es aber nicht, da es eine homöomorphe Realisierung im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ gibt.

Am besten stellst du dir zunächst den Kreis $\begin{eqnarray*} S^1 \end{eqnarray*}$ vor. Jeder seiner Punkte kann mit einer einzigen "Koordinate" beschrieben werden, nämlich den Winkel, den ein Mittelpunktsstrahl zu einer vorgegebenen Achse durch den Mittelpunkt (z.B. der $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse) einnimmt. Das macht den Kreis eindimensional.

Als zweites nimmst du jetzt das Einheitsintervall $\begin{eqnarray*} I = [0,1] \end{eqnarray*}$ . Offensichtlich ist auch dieses eindimensional. Die Menge $\begin{eqnarray*} S^1 \times I \end{eqnarray*}$ stellt jetzt einen Zylinder dar. Dieser kann durch zwei "Koordinaten" beschrieben werden, nämlich genau die geerbten "Koordinaten" von $\begin{eqnarray*} S^1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ . Er stellt also etwas Zweidimensionales dar.

Diesen Zylinder stellt man sich als ein "Rohr" vor, ähnlich einem Waschmaschinenschlauch. Er wird jetzt so gebogen, daß die Kreise an den Enden aufeinanderliegen. Dann werden die Kreise miteinander verklebt. Du hast jetzt eine zweidimensionale Fläche im dreidimensionalen Raum. Jeder Punkt der Fläche kann durch zwei "Koordinaten" beschrieben werden. Die erste "Koordinate" ist die alte, von $\begin{eqnarray*} S^1 \end{eqnarray*}$ geerbte. Die zweite "Koordinate" ist von $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ geerbt. Aber $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ ist nicht mehr ein Intervall mit zwei Enden, sondern durch das Verkleben zu einer Kreislinie geworden. $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ ist also nicht mehr $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} S^1 \end{eqnarray*}$ . (Na ja, es ist ja gut gemeint, was ich hier sage.)

Ich hoffe, daß dieser Kurzdurchgang durch die algebraische Topologie halbwegs verständlich war.

18.10.2005, 19:20

papahuhn

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Ok, danke für den Erklärungsversuch, aber Topologie muss ich nicht verstehen. smile

smile

18.10.2005, 21:59

Teilmenge

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danke für die vielen Antworten.
Aber mal ganz ehrlich,das waren jetzt Übungsaufgaben zu meiner 1.Vorlesung im Magisterhauptfach Informatik.
Woher soll man denn sowas wie Torus kennen,wenn man in der Vorlesung man grad Megenoperationen durchgeht?

kommt jetzt bei 2d) ein Autoreifen raus?
und wie soll ich 2c)verstehen?Ist r1 nicht sowieso eine Teilmenge der reellen Zahlen?

18.10.2005, 22:43

Leopold

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Zitat:

Original von Teilmenge
danke für die vielen Antworten.
Aber mal ganz ehrlich,das waren jetzt Übungsaufgaben zu meiner 1.Vorlesung im Magisterhauptfach Informatik.
Woher soll man denn sowas wie Torus kennen,wenn man in der Vorlesung man grad Megenoperationen durchgeht?

Ich kann dir da nur zustimmen.

Zitat:

Original von Teilmenge
kommt jetzt bei 2d) ein Autoreifen raus?

Das erwarten die da sicher. Aber du kannst sie ja ärgern und sagen, daß da ein Lenkrad (natürlich ohne das innere Kreuz) herauskommt. Da müssen sie zumindest kurz nachdenken (ist ja eine kleine Strafe!).

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