Dirac Delta und Dichtefunktion

13.04.2008, 00:07

papahuhn

Dirac Delta und Dichtefunktion

Hallo,
ich habe eine gegebene Funktion $\begin{eqnarray*} h : X \times V \rightarrow Y \end{eqnarray*}$ . Sei beispielsweise $\begin{eqnarray*} X = \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, V = Y = \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Weiterhin sei $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ eine Zufallsvariable mit bekannter Dichte $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ . Die Funktion $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ ist an sich deterministisch, bekommt aber durch die Zufallsvariable, die Teil der Eingabe ist, ebenfalls Zufallscharakter.
Ich bin nun an der praktischen Berechnung der Dichte $\begin{eqnarray*} P(y | x) = \int \delta(y - h(x, v))D(v)dv \end{eqnarray*}$ interessiert, wobei das $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ die Dirac-Funktion ist.
Wie kann man das berechnen, wenn man $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ kennt? Geht das nur in seltenen Fällen, oder gibts da einfache Tricks?

13.04.2008, 10:51

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Wenn $\begin{eqnarray*} h(x,\cdot):\,V\to Y \end{eqnarray*}$ eine bijektive und differenzierbare Funktion ist, dann lässt sich das durch eine naheliegende Substitution berechnen, unter Einbeziehung der Umkehrfunktion von diesem $\begin{eqnarray*} h(x,\cdot) \end{eqnarray*}$ .

Andernfalls wird es schon komplizierter, wenn man das für allgemeine (?) $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ berechnen will.

13.04.2008, 11:23

papahuhn

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Hm, ich weiss nicht, wie allgemein das sein soll. Das Problem ist aber praktischer Natur und sollte daher berechenbar sein. Die Funktion $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ modelliert die möglichen Beobachtungen in einem HMM im Zustand $\begin{eqnarray*} x \in X \end{eqnarray*}$ . Die Messunschärfe wird dabei durch das $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ modelliert.
Um die Zustandsdichte über $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ nach einer neuen Messung zu aktualisieren, muss man u.a. das $\begin{eqnarray*} P(y|x) \end{eqnarray*}$ berechnen. Eventuell macht Dirac alles nur komplizierter?
Eigentlich ist ja $\begin{eqnarray*} P(y | x) = \int P(y | x, v) P(v | x) dv = \int P(y | x, v) D(v) dv \end{eqnarray*}$ . Da aber $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ innerhalb von $\begin{eqnarray*} P(y|x,v) \end{eqnarray*}$ "fest" ist, bestimmt $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ eindeutig dessen Wert, was wohl durch das Dirac-Delta ausgedrückt werden sollte. Ist das in obiger Form eventuell einfacher zu lösen?

13.04.2008, 11:27

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Was heißt "lösen" - gelöst ist es mit der Integraldarstellung. Ich denke, es geht dir um die praktische Berechnung, und da ist die Form in deinem letzten Beitrag ja noch allgemeiner und damit noch schwerer eine "allgemeine" konkrete Berechnung anzugeben.

13.04.2008, 12:03

papahuhn

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Hmm,
vielleicht wird in der Praxis der Einfachheit halber mit endlichem $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ gerechnet, dann muss ich lediglich die $\begin{eqnarray*} D(v) \end{eqnarray*}$ aufsummieren, für die $\begin{eqnarray*} h(x,v) = y \end{eqnarray*}$ gilt.

Btw, Glückwunsch zum 15000sten Posting. smile

13.04.2008, 12:45

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Zitat:

Original von papahuhn
dann muss ich lediglich die $\begin{eqnarray*} D(v) \end{eqnarray*}$ aufsummieren, für die $\begin{eqnarray*} h(x,v) = y \end{eqnarray*}$ gilt.

Für endliches $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ist aber die ganze Darstellung mit einem Integral über die Deltadistribution ziemlich fragwürdig.

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