Herleitung von arccosh(x)

18.10.2005, 08:54	papahuhn	Auf diesen Beitrag antworten »
Herleitung von arccosh(x) Hallo, mir ist da etwas bei der Herleitung vom arccosh(x) schleierhaft. $\begin{eqnarray} x = cosh(y) = \frac {e^y + e^{-y}} {2} \Leftrightarrow 2x = e^y + e^{-y} \Leftrightarrow e^{2y} - 2xe^y + 1 = 0 \Leftrightarrow e^y = x + \sqrt{x²-1} \vee e^y = x - \sqrt{x²-1} \\ \Leftrightarrow y = ln \left ( x + \sqrt{x²-1} \right ) \vee y = ln \left ( x - \sqrt{x²-1} \right ) \end{eqnarray}$ Tja, zwei Möglichkeiten, wo es nur eine geben darf. Man kann ja leicht nachprüfen, dass die erste Variante tatsächlich die Umkehrfunktion ist. Ich verstehe aber nicht, was mit der anderen Variante passiert, da ja alles Äquivalenzumformungen sind. Ich habe mir schon überlegt, ob nicht meine Interpretation des Oders falsch ist. Vielleicht heißt es: Wenn $\begin{eqnarray} x = cosh(y) \end{eqnarray}$ ist, dann ist die Lösung das oder das, und ich muss noch herausfinden, welche das ist. Das kann aber auch nicht wirklich stimmen, denn bei einer quadratischen Gleichung führen beide Lösungen zum Ziel.
18.10.2005, 09:40	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Bild sagt mehr als tausend Worte: cosh ist nicht eineindeutig, also auch nicht auf der gesamten reellen Achse umkehrbar - wohl aber bei Einschränkung auf die positive reelle Achse. Und genau das ist deine erste Lösung. Beachte dabei auch, dass $\begin{eqnarray} \ln\left(x-\sqrt{x^2-1}\right) = -\ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x\geq 1 \end{eqnarray}$ gilt.
18.10.2005, 16:44	papahuhn	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ok, das hat geholfen. Danke!

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