Bitte um Hilfe um Wurzelsatz von Vieta herzuleiten!

18.10.2005, 18:38

MrPSI

Bitte um Hilfe um Wurzelsatz von Vieta herzuleiten!

Hi,

der Wurzelsatz von Vieta lautet ja bekanntlich:
$\begin{eqnarray*} &&x^n+a_{n-1}*x^{n-1}+.....+a_2*x^2+a_1*x+a_0\\&=&(x-x_1)*(x-x_2)*...*(x-x_{n-1})*(x-x_n) \end{eqnarray*}$

nun würde ich gerne irgendwie eine Herleitung sehen.
Auf http://www.komplexezahlen.de/ ist genauso wie im meinem Schulbuch bewiesen worden, dass das Polynom p(x) bei Division durch (x-x1) das Polynom p1(x) ohne Rest ergibt, oder anders formuliert, dass sich der Linearfaktor (x-x1) aus p(x) herausziehen lässt. Dabei entsteht hat p1(x) den Grad n-1. Soweit so gut.
Aber man hat dann nur noch auf gedanklicher Basis "bewiesen", dass der Wurzelsatz gilt, weil sich das Herausziehen bis zum Grad n-n machen lässt.
Jetzt würd ich halt allzu gerne wissen, wie sich eine vollständige und auch einfache Herleitung machen lässt.
Man könnte ja das auf der Site angegebene Verfahren fortsetzen, aber die Prozedur würde wahrscheinlich eine Kilometer Papier benötigen.

Bitte helft! Bin dankbar für jede Art der Unterstützung!

edit von sqrt(2): hier (und im Folgenden) durch LaTeX-Umbrüche Seitenbreite korrigiert

18.10.2005, 18:57

Auf diesen Beitrag antworten »

Unter 3.2. auf der von dir angegebenen Seite ist doch eine klare Beweisskizze angegeben, genauso würde ich es auch machen. Richtig "ordentlich" schreibt man das ganze als Induktionsbeweis auf, dann ist dieser Teil gerade der Induktionsschluss.

18.10.2005, 20:31

MrPSI

Auf diesen Beitrag antworten »

die unter 3.2 angegebene Beweisskizze ist ja gerade so extrem lang, denn das Polynom p1(x) lautet z.B. so:

$\begin{eqnarray*} p_1(x)&=&(x^{n-1}+x^{n-2}*x_1+...+x_1^{n-1})+\\&&a_{n-1}*(x^{n-2}+x^{n-3}*x_1+...+x_1^{n-2})+...+\\&&a_2*(x^1+x^0*x_1+...+x_1^1)+\\&&a_1*(x^0+x^{-1}*x_1^1+...+x_1^0) \end{eqnarray*}$

noch dazu kommt, dass ich keine Ahnung habe wie ich da (x-x2) herausheben könnte.

18.10.2005, 20:47

Auf diesen Beitrag antworten »

Du weißt schon, was vollständige Induktion ist - oder nicht?

18.10.2005, 21:23

MrPSI

Auf diesen Beitrag antworten »

nein, weiß ich nicht.
wenns aber wichtig schau ich mal bei wiki vorbei.

19.10.2005, 20:40

MrPSI

Auf diesen Beitrag antworten »

also ich habe jetzt durch mathe-online.at verstanden wie die vollständige Induktion funktioniert.
man nimmt an, dass die Aussage für ein beliebiges n wahr ist, und beweist, dass die Formel auch für n+1 stimmt.
und wenn man dann noch beweist, dass die Formel für 1 stimmt, kann man durch die vorhin gewonnene Erkenntnis(=Formel stimmt auch für die nächste Zahl) die Gültigkeit der Formel auf die Menge der natürlichen Zahlen ausweiten.

und hier ist es ja dasselbe in Himmelblau:

man hat den Induktionsanfang gemacht, und die Induktionsvorraussetzung lautet

$\begin{eqnarray*} p(x)&=&x^n+a_{n-1}*x^{n-1}+...+a_2*x^2+a_1*x+a_0\\&=&(x-x_1)*(x-x_2)*...*(x-x_{k-1})*(x-x_k)*p_k(x) \end{eqnarray*}$

wobei k eine natürliche Zahl und kleiner als der Grad der Gleichung ist. Jetzt muss man das Ganze ja nur noch auf k+1 ausweiten.
Aber ich als Anfänger ohne jedwede Übung sehe da nur schwarz.

19.10.2005, 20:50

Auf diesen Beitrag antworten »

Induktionsschluss $\begin{eqnarray*} (n-1)\to n \end{eqnarray*}$ :

Du hast doch oben für das Polynom $\begin{eqnarray*} p(x) \end{eqnarray*}$ vom Grad n die Darstellung $\begin{eqnarray*} p(x)=(x-x_1)p_1(x) \end{eqnarray*}$ erhalten. Nun ist $\begin{eqnarray*} p_1(x) \end{eqnarray*}$ ein Polynom (n-1)-ten Grades (also ein Grad niedriger), für dass du also die Induktionsvoraussetzung anwenden darfst! Also gibt es eine Darstellung

$\begin{eqnarray*} p_1(x)=(x-x_2)\cdot\ldots (x-x_n) \end{eqnarray*}$

Fertig ist der Induktionsschluss! Fehlt nur noch der Induktionsanfang n=1 .

20.10.2005, 12:53

MrPSI

Auf diesen Beitrag antworten »

gut, hab ich verstanden.

jetzt versuch ich mich mal am Induktionsanfang n=1:

die Formel für n=1 lautet ja $\begin{eqnarray*} x^1+a_0=(x-x_1) \end{eqnarray*}$ .

So jetzt setzt ich x=x1 als Lösung der Gleichung $\begin{eqnarray*} x+a_0=0 \end{eqnarray*}$ in die erste Gleichung ein.

$\begin{eqnarray*} x_1^1+a_0=(x_1-x_1)\\0=0 \end{eqnarray*}$
Das ist eine wahre Aussage, also wäre damit die Induktion komplett.

Aber ich glaube kaum, dass dieser Induktionsanfang korrekt geführt ist, da ich den Spezialfall x=x1 benutzt hab.

20.10.2005, 16:36

Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso "Spezialfall"? Die im Fall n=1 universelle Polynomdarstellung $\begin{eqnarray*} x+a_0=x-x_1 \end{eqnarray*}$ gilt doch einfach, indem man $\begin{eqnarray*} x_1:=-a_0 \end{eqnarray*}$ setzt.

20.10.2005, 17:26

MrPSI

Auf diesen Beitrag antworten »

wenn man die Richtigkeit von $\begin{eqnarray*} x-a_0=x-x_1 \end{eqnarray*}$ beweisen will, darf man doch nicht einfach $\begin{eqnarray*} x_1=-a_0 \end{eqnarray*}$ definieren? Oder etwa doch?

20.10.2005, 21:44

MrPSI

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Arthur Dent
Wieso "Spezialfall"?

Spezialfall in dem Sinne, weil ich für x x1 eingesetzt habe. Und die dadurch entstehende wahre Aussage ist in ihrer Gültigkeit nur auf x1 beschränkt. Aber die Richtigkeit von n=1 sollte ja allgemein gelten!
Außerdem verstehe ich nicht, wieso man da einfach so $\begin{eqnarray*} x_1=-a_0 \end{eqnarray*}$ definieren darf.

20.10.2005, 22:37

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht hast du dir nicht gründlich genug angeschaut, was der Vieta genau aussagt:

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$ eine natürliche Zahl. Zu jedem Polynom

$\begin{eqnarray*} p(x )= x^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots +a_2x^2+a_1x+a_0 \end{eqnarray*}$ ,

(d.h. zu beliebigen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ komplexen Koeffizienten $\begin{eqnarray*} a_{n-1},\ldots,a_2,a_1,a_0 \end{eqnarray*}$ ) gibt es $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ komplexe Zahlen $\begin{eqnarray*} x_1,x_2,\ldots,x_n \end{eqnarray*}$ , so dass

$\begin{eqnarray*} p(x)=(x-x_1)(x-x_2)\cdot\ldots\cdot(x-x_{n-1})(x-x_n) \end{eqnarray*}$

für alle komplexen Zahlen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gilt.

Und im Fall $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ gibt es eben ein solches $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ - die Festlegung $\begin{eqnarray*} x_1=-a_0 \end{eqnarray*}$ zeigt, dass das "passt".

21.10.2005, 16:13

MrPSI

Auf diesen Beitrag antworten »

*gecheckt hab*

die Gleichung $\begin{eqnarray*} x+a_0=0 \end{eqnarray*}$ hat als Lösung $\begin{eqnarray*} x1=a_0 \end{eqnarray*}$ .

Das kann man dann in die Beweisführung einsetzen und fertige, wahre Aussage!

Danke für die Hilfe(n)! smile

Neue Frage »

Antworten »

Bitte um Hilfe um Wurzelsatz von Vieta herzuleiten!

Verwandte Themen