Ungleichung lösen - Seite 2

20.10.2005, 19:15

OK, betrachten wir mal den Fall:

Zitat:

Original von Arthur Dent
Für $\begin{eqnarray*} x\geq -2 \end{eqnarray*}$ ist also $\begin{eqnarray*} |x+2|=x+2 \end{eqnarray*}$ .

Frage: Welches Vorzeichen hat $\begin{eqnarray*} -(x+1) \end{eqnarray*}$ für die $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ aus diesem Intervall, d.h., für $\begin{eqnarray*} -2\leq x<0 \end{eqnarray*}$ ?

20.10.2005, 19:23

Silvia84

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Positiv

$\begin{eqnarray*} -(-2+1) \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} -(-1) \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$

Stimmt das?

Also,
ich meinte das alle Zahlen zwischen $\begin{eqnarray*} -2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ergeben ein positives Ergebnis

20.10.2005, 19:42

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Soso, und für $\begin{eqnarray*} x=-0.5 \end{eqnarray*}$ ?

Du solltest endlich mal aufhören zu raten, und beginnen zu rechnen. böse

20.10.2005, 19:58

Silvia84

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$\begin{eqnarray*} -0,5 \end{eqnarray*}$

Jetzt weis ich garnix mehr.

Bei $\begin{eqnarray*} -2 \end{eqnarray*}$ ist es $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ und bei $\begin{eqnarray*} -0,5 \end{eqnarray*}$ ist es $\begin{eqnarray*} -0,5 \end{eqnarray*}$

Für mich sieht es so aus das es ins negative läuft.
Ist das den richtig? verwirrt

20.10.2005, 20:07

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Rechnen statt raten geht so: Wann ist $\begin{eqnarray*} -(x+1)>0 \end{eqnarray*}$ ? Na einfach diese Ungleichung umformen: $\begin{eqnarray*} -x-1>0 \end{eqnarray*}$ und weiter dann $\begin{eqnarray*} x<-1 \end{eqnarray*}$ .

Die Antwort auf meine letzte Frage lautet also:

Für $\begin{eqnarray*} -2\leq x< -1 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} -(x+1)>0 \end{eqnarray*}$ , und für $\begin{eqnarray*} -1< x<0 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} -(x+1)<0 \end{eqnarray*}$ . D.h., eine weitere Unterteilung des Falles $\begin{eqnarray*} -2\leq x< 0 \end{eqnarray*}$ in zwei Teilfälle ist nötig.

So, und jetzt klinke ich mich hier aus, denn es gibt ja noch genug Helfer hier, deren Nerven noch nicht aufgebraucht sind. Ich bin deshalb so verärgert, weil meine wirklich ausführliche Zusammenfassung der ersten Fälle völlig für die Katz war - du hast die dort beschriebenen Erklärungen, wie und warum man welche Fallunterscheidungen macht, überhaupt nicht wahrgenommen.

20.10.2005, 20:13

Silvia84

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Na gut.
Hoffe, dass mir jemand anders weiter hilft.
Ich verstehe es einfach nicht aber ich gebe mir alle Mühe.

Vielleicht hat ja jemand mehr Geduld mit mir.

Danke für deine Hilfe. Gott

20.10.2005, 20:18

mercany

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Dann sag doch jetzt mal bitte ganz konkret, was du nicht verstehst?!

Arthur hat schon Recht: Er hat dir hier doch wirklich schon einen großen Teil der Aufgabe ausführlich vorgeführt und kommentiert.

Ein bischen Eigeninitative wäre schon angebracht!

20.10.2005, 20:26

Silvia84

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Also,
der erst Fall wurde ja jetzt berechnet. Lehrer

Der zweite sollte noch berechnet werden.

Dann sind da aber noch der dritte und der vierte und sogar noch nen fünfter.

Ich weis nicht wie ich das lösen kann.
Es wäre ganz nett wenn man mir sagen könnte, welchen Sachen ich beachten muss wenn ich die Fälle lösen will. Rechnen kann ich ja selber.
Aber ich hab Start Probleme. unglücklich

Wenn man mir den Start geben würde dann könnte ich ja weiter rechnen.

20.10.2005, 21:51

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Nachdem ich diese lange ausführliche Erklärung

Ungleichung lösen

verfasst habe, empfinde ich diese Äußerung

Zitat:

Original von Silvia84
Es wäre ganz nett wenn man mir sagen könnte, welchen Sachen ich beachten muss wenn ich die Fälle lösen will. Rechnen kann ich ja selber.
Aber ich hab Start Probleme. unglücklich

Wenn man mir den Start geben würde dann könnte ich ja weiter rechnen.

regelrecht als einen Schlag ins Gesicht. Du hast nicht mal gemerkt, dass ich die Fälle in diesem Beitrag anders strukturiert habe, aus didaktischen Gründen. Da sind es nur noch zwei Hauptfälle (allerdings eben mit Unterfällen) von denen der erste bereits vollständig gelöst wurde!

Ich muss mal eine Frage stellen: So wo du dich hier aufführst, ist das deine erste Bruchungleichung, die du in deinem Leben löst. Warum zum Teufel hast du dir da gleich ein so aufwändiges Beispiel mit mehreren Beträgen rausgesucht? Oder arbeitest du den Stoff von mehreren Monaten nach, den du hast liegenlassen, und nun "brennt" es?

20.10.2005, 22:01

Silvia84

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Um genau zu sein.
Ich war mehrere Wochen krank und im Krankenhaus. Dort hatte ich nicht die Möglichkeit zu lernen. Jetzt schreibe ich in der kommenden Woche eine Klassenarbeit und versuche den ganzen Stoff, den ich verpasst habe, aufzuarbeiten. Da ich nicht gerade die hellste in Mathe bin fällt es mir schwer alles so schnell zu verstehen. Ich hab viel Stress um die Ohren und muss dazu noch aufpassen, dass ich nicht noch weiter zurück bleibe, dann würde es nämlich brennen.

20.10.2005, 23:41

Silvia84

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Hab jetzt die ganze Zeit versucht die Aufgabe zu berechnen.
Leider ohne richtigen Erfolg.
Könnte vielleicht jemand noch den fehlenden Teil ergänzen?
Ich würde gern sehen wie so eine Aufgabe aussieht mit all ihren Rechenschritten.
Dann hätte ich ein Beispiel an dem ich mir das Verfahren klar machen könnte.

21.10.2005, 12:22

Silvia84

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Also, ich habe es jetzt mal selber versucht. Könnte ihr mir vielleicht sagen ob das so richtig ist???

Zuerstmal gilt $\begin{eqnarray*} \mid \mid x \mid +1 \mid = \mid x+1 \mid \end{eqnarray*}$

Grundmenge ist $\begin{eqnarray*} \mathbb R \ \{ -1;1\} \end{eqnarray*}$

1 Fall $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$

Dann gilt $\begin{eqnarray*} \mid x \mid = x \end{eqnarray*}$ und auch $\begin{eqnarray*} \mid x+2 \mid = x+2 \end{eqnarray*}$ , da für $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2+x \geq 2 \end{eqnarray*}$ gilt.

Ungleichung:
$\begin{eqnarray*} \frac{(x+1)*(x+3)}{(x-1)*(x+1)} > x+2 \end{eqnarray*}$

Kürzen von $\begin{eqnarray*} (x+1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{(x+3)}{(x-1)} > x+2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{x+3}{(x-1)} - (x+2)> 0 \end{eqnarray*}$

Hauptnenner bilden:
$\begin{eqnarray*} \frac{x+3-(x+2)*(x-1)}{(x-1)} > 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{-x^{2} +5}{(x-1)} > 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{2} +5}{(x-1)} < 0 \end{eqnarray*}$

Hab ne Vorzeichentabelle gemacht, weil mir das am geschicktesten und recht schnell erschien.

$\begin{eqnarray*} x<-\sqrt{5} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 1<x<\sqrt{5} \end{eqnarray*}$
Da sich aber $\begin{eqnarray*} x < -5 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$ beißt, erhält man im Fall $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$ nur die x mit

$\begin{eqnarray*} 1<x<\sqrt{5} \end{eqnarray*}$

2 Fall $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$

Dann gilt $\begin{eqnarray*} \mid x \mid = x \end{eqnarray*}$

Ungleichung:
$\begin{eqnarray*} \frac{(-x+1)*(x+3)}{(x-1)*(x+1)} > \mid x+2 \mid \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{-(x+1)*(x+3)}{(x-1)*(x+1)} - \mid x+2 \mid > 0 \end{eqnarray*}$

Kürzen von $\begin{eqnarray*} (x-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{-(x+3)}{(x+1)} - \mid x+2 \mid > 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{x+3}{x+1} + \mid x+2 \mid < 0 \end{eqnarray*}$

Fallunterscheidung

Unterfall 2a) $\begin{eqnarray*} x < -2 \end{eqnarray*}$ :

Dann gilt $\begin{eqnarray*} \mid x+2 \mid \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} - (x+2) \end{eqnarray*}$

Ungleichung:
$\begin{eqnarray*} \frac{x+3}{x+1} - (x+2) < 0 \end{eqnarray*}$

Hauptnenner:
$\begin{eqnarray*} \frac{x+3 - (x+2)*(x+1)}{x+1} < 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{-x^{2} -2x+1}{x+1} < 0 \end{eqnarray*}$

Wegen $\begin{eqnarray*} x < -2 \end{eqnarray*}$ ist der Nenner negativ.
Also muss der Zähler positiv sein:
$\begin{eqnarray*} -x^{2} -2x+1>0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{2} +2x-1<0 \end{eqnarray*}$

Die Parabel $\begin{eqnarray*} p(x) = x^{2} +2x-1 \end{eqnarray*}$ hat die Nullstellen
x1 = $\begin{eqnarray*} - \sqrt{2} -1 \end{eqnarray*}$
x2 = $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} -1 \end{eqnarray*}$
und liegt genau zwischen diesen Nullstellen unter der x-Achse.
Beachtet man noch $\begin{eqnarray*} x < -2 \end{eqnarray*}$ , dann erhält man in diesem Unterfall

$\begin{eqnarray*} - \sqrt{2} -1 < x < -2 \end{eqnarray*}$

Unterfall 2b) $\begin{eqnarray*} -2 x < 0 \end{eqnarray*}$
Hier gilt $\begin{eqnarray*} \mid x+1 \mid = x+2 \end{eqnarray*}$

Ungleichung:
$\begin{eqnarray*} \frac{x+3}{x+1} + x+2<0 \end{eqnarray*}$

Hauptnenner bilden:
$\begin{eqnarray*} \frac{x+3+(x+2)*(x+1)}{x+1} <0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{2}+4x+5}{x+1} <0 \end{eqnarray*}$

Die Parabel $\begin{eqnarray*} p(x) = x^{2}+4x+5 \end{eqnarray*}$ hat keine Nullstellen und ist daher stets positiv (da nach oben geöffnet).
Deswegen muss gelten

$\begin{eqnarray*} x+1 <0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x<-1 \end{eqnarray*}$

Beachtet man noch $\begin{eqnarray*} -2 x \leq x < 0 \end{eqnarray*}$ , dann erhält man in diesem Unterfall

$\begin{eqnarray*} -2\leq x < -1 \end{eqnarray*}$

Ergebnis:
$\begin{eqnarray*} ]- \sqrt{2} -1;-1[ \bigcup ]1;\sqrt{5} [ \end{eqnarray*}$

21.10.2005, 12:27

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Da ist zwar der eine oder andere Schreibfehler in der Rechnung, aber das sind wirklich nur Schreibfehler und keine inhaltlichen, wie das richtige Ergebnis beweist.

Gratulation, es geht doch. Freude

21.10.2005, 13:57

Silvia84

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Danke.
Endlich hab ich es gepackt. Idee!

Kannst du mir vielleicht sagen wo die Schreibfehler sind.
Wäre dir sehr Dankbar.

21.10.2005, 18:35

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Zitat:

Original von Silvia84
Grundmenge ist $\begin{eqnarray*} \mathbb R \ \{ -1;1\} \end{eqnarray*}$

Das ist wohl ein Fehler aus LaTeX-Unkenntnis - du meinst $\begin{eqnarray*} \mathbb R \setminus \{ -1;1\} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Silvia84
$\begin{eqnarray*} \frac{-x^{2} +5}{(x-1)} > 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{2} +5}{(x-1)} < 0 \end{eqnarray*}$

Hier muss $\begin{eqnarray*} \frac{x^{2} -5}{(x-1)} > 0 \end{eqnarray*}$ in der letzten Zeile stehen.

Zitat:

Original von Silvia84
Unterfall 2b) $\begin{eqnarray*} -2 x < 0 \end{eqnarray*}$
Hier gilt $\begin{eqnarray*} \mid x+1 \mid = x+2 \end{eqnarray*}$

Hier sind gleich zwei Schreibfehler:

Unterfall 2b) $\begin{eqnarray*} -2 \leq x < 0 \end{eqnarray*}$
Hier gilt $\begin{eqnarray*} \mid x+2 \mid = x+2 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Silvia84
Beachtet man noch $\begin{eqnarray*} -2 x \leq x < 0 \end{eqnarray*}$ ,

Dito: $\begin{eqnarray*} -2 \leq x < 0 \end{eqnarray*}$

Wie gesagt, alle nicht kritisch - aber du wolltest sie ja wissen. Augenzwinkern

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