Ungleichung lösen

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Silvia84 Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung lösen


Bin voll am Ende. Was soll ich bloß machen????

Sitze jetzt schon seit zwei Tagen an dieser besch**** Aufgabe, ich weiß nicht mehr weiter.

Vielleicht hat jemand einen Tipp für mich..

Bitte helft mir. traurig
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Vereinfachung ist schon mal , denn der Term unter dem äußeren Betrag ist immer positiv, also kann man diese äußeren Betragsstriche auch gleich weglassen!
 
 
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »

dann fasse den Zähler noch zur 3. Binomischen Formel zusammen und multipliziere ihn dann auf die andere Seite rüber
Silvia84 Auf diesen Beitrag antworten »



Ist dieser Rechenschritt jetzt so richtig?
Ich bin komplet verwirrt.
Ist unten die Binomischeformel richtig gelößt???
Falls jemand noch weiter weis, schreibt bitte so schnell ihr könnt.

Ein großer DANK geht an alle die, die mir schon weiter geholfen haben.
Ich DANKE euch. Mit Zunge
lego Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Silvia84



klammern nicht vergessen
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Das "Betragsstriche weglassen" hast du wohl zu wörtlich genommen - das war auf den Einzelterm bezogen: Wenn du da noch was dranmultiplizierst, musst du natürlich Klammern setzen!

Was du vorbereitend zur Lösung tun musst, ist eine sinnvolle Fallunterscheidung, so dass du einerseits die Beträge nach und nach auflösen kannst, und andererseits die Ungleichung äquivalent umformen kannst. Die Multiplikation mit etwa erhält das Relationszeichen im Fall , sie dreht aber das Relationszeichen um im anderen Fall , usw.

Der Vorschlag von brunsi mit dem Ausmultiplizieren ist übrigens nicht so gut: Je nach Fall lässt sich nämlich einer der beiden Faktoren und immer wegkürzen...
Silvia84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich evrstehe jetzt nur noch Bahnhof. verwirrt



Das hab ich jetzt. Hoffe es ist so richtig.
Aber was soll ich jetzt weiter machen?
Ich werde einfach nicht schlau aus den letzten Angaben.

Könntet ihr mir das nicht leichter erklären.
Soll man jetzt die Binomischeformel benutzen oder nicht?Hilfe



Sollte ich jetzt die kürzen?

Dann hab ich da

Ist es richtig? Bin mir sehr unsicher. unglücklich
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Silvia84


Sollte ich jetzt die kürzen?

Dann hab ich da

In der ersten Zeile geht's schon los: Aus machst du plötzlich . Das kannst du tun - aber nur im Fall , das ist das, was ich mit Fallunterscheidung meine. Und ja, dann kannst du kürzen.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Verschoben
Silvia84 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab versucht alles das zu befolgen was mir bis jetzt so geraten wurde.
Jedoch ohne Erfolg.
Könnte vielleicht einer so lieb sein und mir Schritt für Schritt erklären wie man diese Aufgabe rechnet.
babelfish Auf diesen Beitrag antworten »

don't panic, sag ich da nur.
war doch bisher schon ganz richtig so!
ich versuche mal für arthur zu übersetzen smile
du musst beachten, dass für x ja die verschiedensten dinge herauskommen können: willst du zb mit (x-1) multiplizieren, könnte das problem auftreten, dass nach regel bei der multiplikation mit einem negativen faktor sich das größer-kleiner-zeichen umdreht. wenn du jetzt mit (x-1) mutliplizierst, ist das nun negativ oder positv? weißte net, deswegen musst du jetzt die verschiedenen fälle betrachten, die eintreten könnten. also bei x>=1 wird (x-1) ja positiv und da rechnest dann weiter. als nächstes berechnest du die ganze ungleichung für x<1. welche fälle musst du noch beachten?
kommste jetzt weiter?
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

also den schritt zu ist schon mal richtig und auch das ausmultiplizieren des Bruches zu ist schon mal gut.
Eine weitere Vereinfachung ist weil, wenn x positiv ist und man 2 dazuzählt, das Ergebnis auch positiv ist, man braucht also um "2+x" keine Betragsstriche mehr.

Bei Bruchungleichungen wie deinen muss man aber Fallunterscheidungen vornehmen.
wenn du z.B. mit multiplizierst um den Bruch aufzulösen, so kann es sein, dass dieser Ausdruck negativ oder positiv sein kann, je nachdem wie groß x ist.
Ist positiv, so bleibt das Ungleichheitszeichen konstant, ist jedoch negativ, so muss sich das Ungleichheitszeichen ja bekanntlich umdrehen.
Verstanden?

und wenn du diese beiden Fälle getrennt durchrechnest, weißt du am Ende welche Zahlen x einnehmen darf.

edit: mist, zu spät
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von babelfish
ich versuche mal für arthur zu übersetzen smile

Das war ja schon immer deine Bestimmung. Big Laugh
Silvia84 Auf diesen Beitrag antworten »

Also,
ich hab jetzt alles das befolgt. Ich weis aber nicht weiter.



Das hab ich jetzt alles. Aber wie geht es weiter.
Wie löst man die Gleichung???
Was dann??? Hilfe
babelfish Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
Das war ja schon immer deine Bestimmung. Big Laugh


ich komme eben meiner bestimmung immer gewissenhaft nach! Big Laugh


@silvia: vergiss nicht, immer dazu zu schreiben, in welchem "fall" du dich befindest! fangen wir doch mit an!
wenn x>1, dann kannst du statt auch nur schreiben, denn wenn du zahlen, die größer als eins sind einsetzt, kommt ja bei dem betrag immer das gleiche raus, wie wenn du 2+x rechnest.
aus dem gleichen grund kannst du jetzt statt auch einfach nur x schreiben.
dann hätten wir die gleichung jetzt also folgendermaßen vereinfacht:

für



wie du siehst, hab ich im nenner die klammern jetzt nicht ausmultipliziert und du kannst dir sicher auch schon denken warum...Augenzwinkern
wie gehts jetzt also erstmal weiter?
Silvia84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
hab jetzt erstmal gekürzt.
Somit hab ich dann



Danach hab ich dann mit multipliziert.



Mein letzter Punkt den ich habe, ist



Kann das sein. Ist es so richtig???
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

ja, das Ergebnis stimmt.

jetzt musst du noch den Fall x<1 behandeln.
Silvia84 Auf diesen Beitrag antworten »

Da bin ich ja echt froh. Tanzen
Danke danke danke für die Hilfe. Gott

Geht das genau so oder muss man da noch was beachten?
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

wenn du annimmst, dass x<1 gilt, und damit auch (x-1)<0 , dann musst du bei der Multiplikation das Ungleichheitszeichen umdrehen.
Silvia84 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay,
dann bekomme ich

und

Ist das so okay?

Ich hab was von vier Fällen gehört?
Worum geht es da?
Sind das die Lösungen?
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

so wie du das gemacht hast, sollte es stimmen.

Du weißt jetzt, dass alle x, die die Gleichung erfüllen im Bereich oder im Bereich liege kann.
Folglich ist die Lösungsmenge die Vereinigungsmenge dieser beider Bereiche.

Was die vier Fallunterscheidungen angeht, kann ich dir nichts sagen.
Es könnte sein, dass man auch noch den Fall heranzieht, dass der Zähler, und damit auch der ganze Bruch, 0 ist. Damit ergäben sich 4 Fälle.
Aber das ist nur Spekulation meinerseits, also verlass dich nicht drauf.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, so einfach ist das nicht:

Im ersten Fall hast du durch äquivalentes Umformen bekommen (genauer eigentlich , also ). Zusammen mit der Fallbedingung macht das also die Lösungsmenge



für diesen ersten Fall.

Der zweite Fall ist , dort bekommst du in der Tat
heraus. Zusammen mit der Fallbedingung ergibt das allerdings keine Lösung (!) in diesem Fall.

...

Nach dem Schema geht das, ich hab's doch oben schon geschrieben und babelfish hat es auch noch näher erläutert.

EDIT: Als Hilfestellung nenne ich mal noch die weiteren drei (!) Fälle, die sich in der Behandlung jeweils unterscheiden:

3.Fall:
4.Fall:
5.Fall:
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

sorry, dass ich was falsches geschrieben hab.
Ist schon lange her, seit ich eine Bruchungleichung gelöst hab.
Silvia84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hilfe
Ich versuche die ganze Zeit das zu berechnen was mir als Lösung genannt wurde.
Ich komme aber einfach nicht drauf. unglücklich
Kann mir vielleicht jemand den Anfang liefern oder den kompletten weg beschreiben.
Ich kann echt nicht mehr. traurig
HELFT MIR BITTE
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Weniger jammern, mehr Hinweise befolgen!
Silvia84 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich werde aus den Hinweisen nicht schlau. verwirrt
Was soll ich den da machen.
Ich gebe ja schon meine bestes und sitze schon wieder nen neuen Tag an dieser Aufgabe.
Silvia84 Auf diesen Beitrag antworten »

Kann mir jemand die Rechenwege aufschreiben?
Wäre echt suppi. Freude
babelfish Auf diesen Beitrag antworten »

vielleicht solltest du dir das mal zu gemüte führen... Stichwort: Komplettlösungen

wenn du aus den hinweisen nicht schlau wirst, dann sag doch bitte konkret, was du nicht verstehst!
wie der erste fall funktioniert, hast du ja jetzt verstanden - jetzt kommt es im prinzip nur noch darauf an, die restlichen fälle zu finden und umzusetzen...
verstehst du, warum es wichtig ist, die von arthur geposteten möglichkeiten/fälle zu betrachten?
Silvia84 Auf diesen Beitrag antworten »

Verstehe die Berechnungen der Fälle nicht. verwirrt
Das soll heißen, dass ich nicht weis wie ich den 2,3 und 4 Falle Berechne.
Der 5 Fall ist sowie so ein Rätsel für mich.
Ich dachte immer es gibt nur 4.
Darum wäre es sehr hilfreich wenn mir jemand die Rechnungen zu den Fällen nennen könnte.
babelfish Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichung lösen


musste mich grad nochmal der ausgangsgleichung besinnen! Augenzwinkern

der zweite fall ist ja .
das heißt, x ist nicht 1 (aber auch nicht -1) und somit bekommt man keine probleme mit dem nenner.
außerdem ist ganz vorteilhaft, dass x immer positiv (oder 0) ist, denn so lassen sich die beträge genauso vereinfachen wie eben auch, denn bei fall 1 war x ebenfalls immer positiv!
du kannst also im prinzip genauso rechnen, wie bei fall 1 auch => was heißt das für deine lösung?
Silvia84 Auf diesen Beitrag antworten »



oder???

Aber wie mach ich das bei den anderen Fällen.
Wie ist da die Lösung?
Kann mir jemand helfen??? Hilfe
Silvia84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, oder Guten Morgen.
Sitze immer noch an der Aufgabe.
Ich habe jetzt



ausgerechnet. Weis nicht ob das richtig war.
Naja. Ich habe dann für x1 < 1 und für x2 > 3 ausgerechnet.

Jedoch bin ich verwirrt, da mir andere Wertebereiche genannt wurden.
Könnte mir bitte jemand von euch helfen.
Ich sitze jetzt schon wieder seit heute Morgen an dieser Aufgabe.
Hilfe BITTE HELFT MIR Hilfe
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

um dir helfen zu können, solltest du uns mitteilen, welchen Fall du hier gerechnet hast.
Silvia84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
ich hab einfach nach x aufgelöst.
Somit hab ich zwei x Werte bekommen.
Kann man so nicht den Wertebereich berechnen?
Ich dachte ich kann so weiter rechnen.
Geht das nicht??? unglücklich
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Dein etwas planloses Vorgehen bringt mich jetzt mal dazu, das bisherige Vorgehen geordnet darzustellen.

Aufgabenstellung: Bestimme alle reellen Zahlen , für die

gilt.

Erste Überlegung: Was ist eigentlich der Definitionsbereich der Terme? Nun, alle , wo der Nenner links ungleich Null ist, also . Und diese müssen wir im folgenden untersuchen, ob sie die Ungleichung erfüllen.

Zweite Überlegung: Die Beträge "stören", und sollten daher schrittweise eliminiert werden. Basis dafür ist die Betragsdefinition, d.h., es gilt für sowie für . Erster Kandidat dafür ist das links stehende . Demzufolge beginnt jetzt die Fallunterscheidung:


Fall 1:

Dann ist , und da das hier in diesem Fall positiv ist, fallen auch die äußeren Betragsstriche von weg. Außerdem ist auch hier positiv, also fallen auch die Betragsstriche rechts weg. Es verbleibt . Den positiven Term können wir jetzt bedenkenlos kürzen:



Jetzt wollen wir die Ungleichung mit multiplizieren, müssen dabei aber das Vorzeichen dieses Terms berücksichtigen! Es ergibt sich eine weitere (Unter-)Fallunterscheidung:


Fall 1.1: , d.h. umgeformt

Es ergibt sich , also mit der Lösung . Zusammen mit der Fallbedingung ergibt sich die Lösung für diesen Unterfall.

Fall 1.2: , d.h. . Zusammen mit ergibt das die Fallbedingung .

Hier ergibt sich , also mit der Lösung . Zusammen mit der Fallbedingung ergibt das aber überhaupt keine Lösung in diesem Unterfall.


Fall 2:

Dann ist , und da das hier auch in diesem Fall immer positiv ist, fallen auch hier die äußeren Betragsstriche von weg. Es verbleibt . Wegen können wir auch hier jetzt kürzen:

.

...

Jetzt bist du mal wieder an Reihe! Es steht natürlich an, jetzt auch die Betragsstriche rechts "loszuwerden".
Silvia84 Auf diesen Beitrag antworten »

Kann ich nur die Betragsstriche weg lassen wenn der Wert positiv ist?

Oder muss ich einmal mit und einmal mit rechnen?

Würde mir irgendwie logisch erscheinen. Lehrer
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig, und was bedeutet Nichtnegativität von ? Nun, ist umgeformt , und schon hast du eine weitere Aufsplittung von Fall 2 in weitere Unterfälle. Das mag mühsam erscheinen, aber führt bei genügend Durchhaltewillen zum Ziel.

Nochmal deutlich: Für ist also . Für gilt dagegen .
Aber das habe ich oben schon geschrieben, nur du liest dir ja leider nicht gründlich die Beiträge durch:

Zitat:
Original von Arthur Dent
Basis dafür ist die Betragsdefinition, d.h., es gilt für sowie für .
Silvia84 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay,

also muss ich einmal und einmal ausrechnen, oder?

Hab ich da richtig multipliziert?

Ich hab mit multipliziert.

Ist das so richtig?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Silvia84
also muss ich einmal und einmal ausrechnen, oder?

Zunächst meinst du sicher eher

und .

Aber was hast du wieder vergessen? Dass bei der Multiplikation mit das Vorzeichen dieses Terms eine Rolle spielt!!!
Silvia84 Auf diesen Beitrag antworten »

Also,
bei der ersten Rechnung das > in ein < wechseln, da ja die rechte Seite negativ ist, oder?

Bei der zweiten Rechnung ist es ja positiv.

Ist das so richtig. Kann man das so sagen?

Oder meinst du, dass wenn ich die äußere Klammer auflöse, sich alle Vorzeichen in der Klammer um drehen.
Also das aus Minus Plus wird und aus Plus wird Minus. verwirrt
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