Bitte Hilfe bei Beweis

19.10.2005, 20:53

conni123

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Bitte Hilfe bei Beweis

Hallo,

hab heut in der Mathevorlesung n Aufgabenzettel mit n paar Dingen gekriegt, die wir beweisen sollen....
Das einzige, was ich über beweise weiß, ist, dass es 3 verschiedene Möglichkeiten gibt...

Hier die Aufgabe:

Beweisen Sie, dass
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix} =n \end{eqnarray*}$
ist.

Kann mir da jemand n Tip geben???

19.10.2005, 20:55

sqrt(2)

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Da gibt es nicht viel zu beweisen... Setze n und 1 einfach an den entsprechenden Stellen in der Definition für n über k ein und kürze dann.

19.10.2005, 21:27

conni123

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du meinst also

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ \\ k \end{pmatrix} =\frac{n*(n-1)...(n-k+1)}{k!} \end{eqnarray*}$

eingesetzt wäre das:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ \\ 1 \end{pmatrix} =\frac{n*(n-1)*...(n-1+1)}{1} \end{eqnarray*}$

also nur noch der Zähler... der dann im Weiteren heisst:
$\begin{eqnarray*} n^{2}-n*...n \end{eqnarray*}$

kann man sagen, dass das n ist????

19.10.2005, 21:34

AD

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Zitat:

Original von conni123
also nur noch der Zähler... der dann im Weiteren heisst:
$\begin{eqnarray*} n^{2}-n*...n \end{eqnarray*}$

Das ist Unsinn: Im Zähler sind genau k Faktoren. Wenn k=1 ist, dann ist es eben nur ein Faktor!

19.10.2005, 21:37

sqrt(2)

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Zitat:

Original von conni123
eingesetzt wäre das:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ \\ 1 \end{pmatrix} =\frac{n*(n-1)*...(n-1+1)}{1} \end{eqnarray*}$

Im Prinzip steht's schon da, allerdings undeutlich bis falsch.

Kannst du $\begin{eqnarray*} n(n-1)...(n-k+1) \end{eqnarray*}$ noch kürzer als Bruch mit Hilfe von zwei Fakultäten darstellen? Dann wird es deutlicher.

Zitat:

Original von conni123
also nur noch der Zähler... der dann im Weiteren heisst:
$\begin{eqnarray*} n^{2}-n*...n \end{eqnarray*}$

kann man sagen, dass das n ist????

Nein, denn ab hier ist es falsch.

19.10.2005, 21:39

papahuhn

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Zitat:

Original von conni123
du meinst also

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ \\ k \end{pmatrix} =\frac{n*(n-1)...(n-k+1)}{k!} \end{eqnarray*}$

eingesetzt wäre das:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ \\ 1 \end{pmatrix} =\frac{n*(n-1)*...(n-1+1)}{1} \end{eqnarray*}$

also nur noch der Zähler... der dann im Weiteren heisst:
$\begin{eqnarray*} n^{2}-n*...n \end{eqnarray*}$

kann man sagen, dass das n ist????

Zitat:

Original von Arthur Dent

Zitat:

Original von conni123
also nur noch der Zähler... der dann im Weiteren heisst:
$\begin{eqnarray*} n^{2}-n*...n \end{eqnarray*}$

Das ist Unsinn: Im Zähler sind genau k Faktoren. Wenn k=1 ist, dann ist es eben nur ein Faktor!

*g* Das kommt von solchen Notationen...

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19.10.2005, 21:47

conni123

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ne tut mir leid aber ich hab keine Ahnung...
Im Zähler geht die Fakultät solange, bis $\begin{eqnarray*} n-k+1 \end{eqnarray*}$ erreicht ist
und im Nenner ist es immer die gesamte Fakultät der Zahl..
Aber wie man das jetzt anders ausdrückt weiß ich ect nicht.... traurig

traurig

19.10.2005, 21:55

sqrt(2)

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Also,

$\begin{eqnarray*} n!=n(n-1)(n-2)\cdot...\cdot1 \end{eqnarray*}$ ,

du willst aber nur $\begin{eqnarray*} n!=n(n-1)(n-2)\cdot...\cdot(n-k+1) \end{eqnarray*}$ . Wie kannst du den überflüssigen Teil wegkürzen?

19.10.2005, 22:01

conni123

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Sei mir nicht böse... aber ich hab keine Ahnung, was du meinst

19.10.2005, 22:04

sqrt(2)

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$\begin{eqnarray*} \frac{n(n-1)(n-2)\cdot...\cdot(n-k+1)(n-k)\cdot...\cdot1}{x}=n(n-1)(n-2)\cdot...\cdot(n-k+1) \end{eqnarray*}$

Was ist $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ? Was ist dann kurz $\begin{eqnarray*} n(n-1)(n-2)\cdot...\cdot(n-k+1) \end{eqnarray*}$ ?

19.10.2005, 22:09

conni123

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x=1 ???????

19.10.2005, 22:10

conni123

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Moment der Zähler währte dann $\begin{eqnarray*} n! \end{eqnarray*}$

19.10.2005, 22:11

sqrt(2)

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Zitat:

Original von conni123
x=1 ???????

Nein, das hieße ja, dass

$\begin{eqnarray*} (n-k)\cdot...\cdot1=1 \end{eqnarray*}$

(Wie ich es noch deutlicher machen soll, ohne die Lösung zu verraten, weiß ich nicht...)

Zitat:

Original von conni123
Moment der Zähler währte dann $\begin{eqnarray*} n! \end{eqnarray*}$

Ja.

edit: Dein schnelles Posten bringt mich durcheinander...

19.10.2005, 22:11

conni123

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Achso.... der Zähler wird dann zu $\begin{eqnarray*} n! \end{eqnarray*}$ der Nenner ist 1 und somit ist das Ergebnis n ...

19.10.2005, 22:13

sqrt(2)

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Zitat:

Original von conni123
Achso.... der Zähler wird dann zu $\begin{eqnarray*} n! \end{eqnarray*}$ der Nenner ist 1 und somit ist das Ergebnis n ...

Äh, Moment. Wo bist du gerade? Wir sind noch dabei, zu sehen, wie man

$\begin{eqnarray*} n(n-1)(n-2)\cdot...\cdot(n-k+1) \end{eqnarray*}$

kürzer schreiben kann.

19.10.2005, 22:15

conni123

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Äh ja... is das nich $\begin{eqnarray*} n! \end{eqnarray*}$ ???
Offensichtlich nicht...

Ich glaub ich check des nich....

19.10.2005, 22:18

conni123

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Doch...
Du meinst.. wenn im Nenner nur 1 steht kann es laut Definition auch nur einen
Faktor im Zähler geben und dieser lautet einfach nur $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$

19.10.2005, 22:34

conni123

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Ja klar...

$\begin{eqnarray*} n-k+1 \end{eqnarray*}$ ist der einzige Faktor und der wird schlicht zu
$\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .

Ich habs geschafft oder???????

19.10.2005, 22:34

sqrt(2)

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Zitat:

Original von conni123
Du meinst.. wenn im Nenner nur 1 steht kann es laut Definition auch nur einen
Faktor im Zähler geben und dieser lautet einfach nur $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$

Nein, Arthur hat das in einem anderen Zusammenhang gesagt.

Also, $\begin{eqnarray*} n!=n(n-1)(n-2)\cdot...\cdot(n-k+1)(n-k)\cdot...\cdot1 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \frac{n!}{x}&=&\frac{n(n-1)(n-2)\cdot...\cdot(n-k+1)(\cdot...\cdot1}{x}\\&=&n(n-1)(n-2)\cdot...\cdot(n-k+1)\cdot\frac{(n-k)\cdot...\cdot1}{x}\\&=&n(n-1)(n-2)\cdot...\cdot(n-k+1) \end{eqnarray*}$

Was ist $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Original von conni123
Ja klar...

$\begin{eqnarray*} n-k+1 \end{eqnarray*}$ ist der einzige Faktor und der wird schlicht zu
$\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .

Wenn du dich wirklich auf das richtige beziehst, und verstehst, warum das so ist, dann ja. Da bin ich mir nur nicht so sicher, deshalb.

19.10.2005, 22:47

conni123

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ich weiß einfach nicht, was du mit $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ meinst..

Ich dachte.. der Binominalkoeffizient ist definiert als
$\begin{eqnarray*} \frac{n*(n-1)...(n-k+1)}{k!} \end{eqnarray*}$

das heisst es gibt im Zähler genausoviele Faktoren, bis die Differenz zwischen Zähler und Nenner $\begin{eqnarray*} +1 \end{eqnarray*}$ erreicht ist.

So da bei k=1 im Zähler der letzte Faktor $\begin{eqnarray*} (n-1+1) \end{eqnarray*}$ lauten muss
und der gleich dem ersten Faktor ist.. gibt es nur einen und der is $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$

?????????

19.10.2005, 22:55

sqrt(2)

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Zitat:

Original von conni123
ich weiß einfach nicht, was du mit $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ meinst..

Ich wollte den Zähler des Binomialkoeffizienten vereinfachen. Die richtige Antwort wäre gewesen $\begin{eqnarray*} x=(n-k)! \end{eqnarray*}$ , dann ergibt sich

$\begin{eqnarray*} n(n-1)(n-2)\cdot...\cdot(n-k+1)=\frac{n!}{k!} \end{eqnarray*}$ ,

also

$\begin{eqnarray*} {n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} \end{eqnarray*}$ .

Das was du sonst gesagt hast, ist aber genauso richtig. Damit hättest du nur nicht die kürzere Darstellung des Binomialkoeffizienten kennengelernt.

19.10.2005, 23:13

conni123

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Ja stimmt du hast irgendwie Recht....

wenn man da mal einsetzt .... kommt da folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} \frac{n!}{(n-1)!} \end{eqnarray*}$
aber das is doch nicht $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$

19.10.2005, 23:15

conni123

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Naja trotzdem Danke...

Vielleicht kannst du ja morgen nochmal kurz was dazu schreiben...

Bis denn

19.10.2005, 23:35

sqrt(2)

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Zitat:

Original von conni123
wenn man da mal einsetzt .... kommt da folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} \frac{n!}{(n-1)!} \end{eqnarray*}$
aber das is doch nicht $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$

Na, doch! Beispiel $\begin{eqnarray*} n=5 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \frac{5!}{4!}=\frac{5\cdot\not4\cdot\not3\cdot\not2\cdot\not1}{\not4\cdot\not3\cdot\not2\cdot\not1}=5 \end{eqnarray*}$

20.10.2005, 00:31

Mathespezialschüler

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Verschoben

@conni
Bitte nicht so viele Doppelposts!! unglücklich

unglücklich

20.10.2005, 10:41

conni123

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Okay.....
ich habs begriffen habs mir heut noch mal in aller Ruhe angeguck... es kommt $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ raus danke...

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