Vollständige Induktion mit sinus

19.10.2005, 22:34	fgstr	Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion mit sinus Hallo! Ich hab da ein großes Problem, nicht das ich schon mit der vollständigen Induktion meine Probleme hätte, nein, da hab ich jetzt noch eine mit Sinus auf bekommen. Ich hoffe, mir kann wer helfen! Beweise für alle natürlichen Zahlen n: sin x+ sin 2x+...+sin nx = ((sin ((n+1)x)/2)/ (sin (x/2)))* sin ((nx)/2), x ungleich 2k Pi, k Element der ganzen Zahlen. Vielen Dank schon im Vorraus!!! Tanja
19.10.2005, 22:57	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, was ist die Induktionsbehauptung: $\begin{eqnarray} \sin(x)+\sin(2x)+\cdots+\sin(nx) = \frac{\sin\displaystyle\frac{nx}{2}\cdot \sin\displaystyle\frac{(n+1)x}{2}}{\sin\displaystyle\frac{x}{2}} \end{eqnarray}$ Die Induktionsvoraussetzung sieht entsprechend aus, nur für (n-1): $\begin{eqnarray} \sin(x)+\sin(2x)+\cdots+\sin((n-1)x) = \frac{\sin\displaystyle\frac{(n-1)x}{2}\cdot \sin\displaystyle\frac{nx}{2}}{\sin\displaystyle\frac{x}{2}} \end{eqnarray}$ Hinreichend ist also der Beweis der "Differenzformel": $\begin{eqnarray} \sin(nx) = \frac{\sin\displaystyle\frac{nx}{2}\cdot \sin\displaystyle\frac{(n+1)x}{2}}{\sin\displaystyle\frac{x}{2}}-\frac{\sin\displaystyle\frac{(n-1)x}{2}\cdot \sin\displaystyle\frac{nx}{2}}{\sin\displaystyle\frac{x}{2}} \end{eqnarray}$ Sollte mit ein wenig Additionstheoremen machbar sein.

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