Hesse'sche Normalenform

20.10.2005, 12:53	aerus	Auf diesen Beitrag antworten »
Hesse'sche Normalenform Hallo, im Unterricht haben wir die Hessesche Normalenform behandelt als eine Formel für die Errechnung eines Abstandes zwischen einem Punkt und einer Ebene. Ich bitte euch hier meine Lösung einer solchen Aufgabe durchzusehen. An einigen Stellen habe ich Fragen. Gegeben sind: $\begin{eqnarray} g:\vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} E:\vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + \nu \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} + \mu\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ So, nun stelle ich die Hesse'sche Normalenform der Ebenengleichung auf. $\begin{eqnarray} \vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -7 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mid \vec{n} \mid = \sqrt{62} \end{eqnarray}$ => $\begin{eqnarray} d = [\begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}] \frac{1}{\sqrt{62}} \begin{pmatrix} 2 \\ -7 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun meine Frage, wenn ich diesen Teil ausrechne: $\begin{eqnarray} [\begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}]* \begin{pmatrix} 2 \\ -7 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ,dann komme ich auf eine negative Zahl: 2-14+6=-6. Aber Abstände können ja nicht negativ sein. Wo ist nun mein Fehler? Danke im Voraus
20.10.2005, 13:10	MrPSI	Auf diesen Beitrag antworten »
ganz einfach! die Betragsklammern(ich glaube zumindest, dass das welche sind), die du um die Differenz zweier Punkte gemacht hast, gehört in Wirklichkeit um die gesamte Aufgabe geschrieben, da eben auch manchmal negative Ergebnisse herauskommen können. Für dieses Phänomen gibts ne geometrische und arithmetische Erklärung, für die ich aber jetzt keine Zeit mehr hab.
20.10.2005, 13:15	aerus	Auf diesen Beitrag antworten »
Und der Betrag ist in diesem Fall die Wurzel aus der Summe der Quadrate der einzelenen Komponenten? also: $\begin{eqnarray} \sqrt{ (x_1^{2)}+(x_2^{2})+(x_3^{2})} \end{eqnarray}$ oder einfach -6 => \|6\| ?
20.10.2005, 13:44	derkoch	Auf diesen Beitrag antworten »
die abstände sind 6 einheiten! das ist richtig, aber das vorzeichen hat auch eine, nicht unwichtige, bedeutung. Wenn du eine ebene hast, nimmt dir mal ein blatt papier , das sei deine ebene, nun hast du einen puknt P, mit abstand 6, wo könnte der punkt den liegen?
20.10.2005, 13:59	brunsi	Auf diesen Beitrag antworten »
naja entweder uaf der einen seite oder uaf der anderen seite des blattes. meinst du das?
20.10.2005, 17:34	MrPSI	Auf diesen Beitrag antworten »
das "-" hat gar keine Bedeutung. ob da ein Minus ist oder nicht, hängt nur davon ab in welche Richtung der Normalvektor zeigt. Hätte aerus den entgegengesetzten Vektor genommen, so wäre das Ergebnis positiv gewesen. Und in welche Richtung der Normalvektor zeigt, ist bei einer Projektion völlig egal.
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