Krümmungsfunktion

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Werner & Susanne Auf diesen Beitrag antworten »
Krümmungsfunktion
Hallo, wir sind verzweifelt auf der Suche nach einer übersichtlichen Herleitung der Krümmungsfunktion! Unser Mathe-Teacher hat uns diese kleine Aufgabe gestellt und wir kommen einfach nicht weiter.

traurig


Grüße an alle Mathefreaks

Werner und Susanne
Deakandy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Krümmungsfunktion
Wie heißt die kleine Aufgabe denn?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

hier einige Fakten, die schon bei früheren Antworten angegeben wurden:


Krümmung:

Das Krümmungsverhalten ändert sich in den Wendepunkten (wenn vorhanden) und auch in Polstellen mit Sprung ohne [EDIT: das war falsch, richtig: MIT] Vorzeichenwechsel und hängt mit dem Vorzeichen der 2. Ableitung zusammen:

Ist dieses positiv, ist die Krümmung dort auch positiv, auch als konvex bzw. links gekrümmt bezeichnet.

Ist dieses negativ, ist die Krümmung dort auch negativ, auch als konkav bzw. rechts gekrümmt bezeichnet.

Im Wendepunkt ist die Krümmung 0.

Die Krümmung kappa ist definiert als

kappa = y ''/(1+y '²)^(3/2) mit dem x-Wert des Punktes.

Manchmal wird der Radius des Krümmmungskreises in einem Punkt gesucht:

Der Krümmungsradius r_k in einem Punkt P der Kurve ist der Kehrwert des Betrages der Krümmung in diesem Punkt:

r_k = 1/kappa

Im Wendepunkt ist dieser Unendlich, also entartet in diesem Fall der Krümmungskreis zur Wendetangente.


Gr
mYthos
redspider Auf diesen Beitrag antworten »
herleitung
hallo!
schreib morgen mathelk-abi, so wurds doch zeit mal zu lernen. hab die herleitung zum krümmungskreis auf folgender seite gefunden:
http://www.fh-lueneburg.de/mathe-lehramt...is/analysis.htm





nun versteh ich nicht, wie man auf die erste und zweite ableitung kommt.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Seit neuestem werden uralte Threads ausgegraben, da hab' ich doch glatt noch keinen Formeleditor verwendet, Big Laugh

Die Ableitungen werden mittels der sogenannten impliziten Ableitung erstellt.

Die Kreisgleichung ist hier eine implizite Funktion, weil sie nur durch eine (implizite) Beziehung zwischen x, y dargestellt ist -> F(x,y) = 0 und nicht durch eine explizite Funktion y = f(x).

Will man die implizite Funktion nach x ableiten, dann werden alle x-Ausdrücke wie gewohnt abgeleitet, bei den y-Ausdrücken muss nach der Kettenregel noch mit y' multipliziert werden.





Aus der letzten Gleichung kann nun explizit berechnet werden:

.. Tangentensteigung


mY+
redspider Auf diesen Beitrag antworten »

vielen dank.
aber irgendwie hätt' ich mir das lernen auch schenken können.
die klausur war so einfach... eine der 2-3 aufgaben (nur mit anderen werten) hatten wir bereits im unterricht bearbeitet.
war nach 2n halb stunden fertig und hab mich gewundert, ob ich nicht irgendeine aufgabe übersehen hab.

zentral-abi? geschenkt! Big Laugh
 
 
Rubinho Auf diesen Beitrag antworten »
Krümmung ebener Kurven
Hallo,
dieser Thread ist zwar schon recht alt, aber eine Richtigstellung kann ja trotzdem nichts schaden. Also: Die Krümmung ändert sich an Polstellen nur, wenn der Sprung mit Vorzeichenwechsel erfolgt und nicht, wie behauptet, wenn er ohne erfolgt. Das kann man sich ganz leicht an der geraden Funktion


klarmachen, deren zweite Ableitung durch


gegeben ist. Diese zweite Ableitung ist in ihrem gesamten Definitionsbereich, also \{0}, positiv und somit konvex, bzw. linksgekrümmt. Analog macht man sich klar, dass die zweite Ableitung einer ungeraden Funktion mit Polstelle wiederum ungerade ist, wodurch das Vorzeichen - und somit auch die Krümmung - an der Polstelle wechselt.



MfG, Rubinho
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, da hast du Recht! THX!

mY+
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