Fixgerade

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KimmeY Auf diesen Beitrag antworten »
Fixgerade
So, ich packs mal hierrein, evtl. fällts auch unter den Bereich lin. Algebra.

Wir haben heute mit dem Thema Geometrische Abbildungen und Matrizen angefangen und dann Abbildungsvorschriften gelernt.

So, jetzt als Hausaufgabe:
Durch die Abbildungsgleichung ist eine Abbildung definiert. Bestimmen sie die Fixpunkte und Fixgeraden der Abbildungen:

a)



So, Fixpunkte sind ja ganz einfach.

es muss einerseits gelten
daraus lässt sich schließen für einen Fixpunkt muss

So, dann für und macht dann: dass kann nur stimmen wenn und dann folgt aus dem ersten , damit gibts nur einen Fixpunkt, bei F (0/0)

so nun zu den Fixgeraden. Ich weiß eine Fixgerade ist eine Gerade, die wieder auf sich selbst abgebildet wird. nur leider komm ich da nicht weiter, wie ich darauf kommen soll. Wir haben über Fixgeraden bei achsenspiegelungen gesprochen, da wärs ja z.B. eine Normale zur Spiegelachse.... Aber wie ist das hier? weil das ist ja total die komische Abbildungsvorschrift verwirrt naja, wäre echt lieb wenn mir da wer helfen könnte, lg
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Stichwort: Eigenwert und Eigenvektor
KimmeY Auf diesen Beitrag antworten »

hmm, spontan: kein plan. Hilfe

Nach dem ich mir bei wikipedia alles durchgelesen habe: Immernoch kein Plan. Naja ok, ich bin ehrlich, etwas mehr Plan. Aber da wir wie gesagt keine Matrizen hatten bis jetzt, ich weder weiß was das ist noch wie man damit rechnen kann ich auch leider nichts von wegen Eigenvektor und Eigenwert bestimmen wenn ich das richtig verstanden hab.... traurig

gibts da noch irgendeine andere Möglichkeit???
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du den Anhang entpackst, kannst du dir die Sache einmal mit dem Internet Explorer (leider nur mit diesem Browser) anschauen. Alle Sicherheitswarnungen ignorieren.

Ziehe an den blauen Punkten (Originale) und beobachte die roten Objekte (Bilder).
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
[...] mit dem Internet Explorer [...] . Alle Sicherheitswarnungen ignorieren.

Das machen die Nutzer dieses Browsers ja von Haus aus. Teufel
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Dann versuchen wir es einmal auf elementarem Weg. Ich schreibe statt . Die Abbildungsgleichungen lauten dann:




Es ist klar, daß die -Achse und die -Achse selbst keine Fixgeraden sind (das Bild von liegt nicht mehr auf der -Achse, das Bild von nicht mehr auf der -Achse). Unterstellen wir jetzt einmal, daß es eine andere Ursprungsgerade, die Fixgerade ist, gibt. Diese besitzt eine Steigung und ist ein Punkt dieser Ursprungsgeraden. Jetzt bestimme seinen Bildpunkt gemäß der Abbildungsvorschrift und beachte, daß dessen zweite Koordinate wegen der Fixgeradeneigenschaft wieder das -fache der ersten ist. Hiermit erhältst du eine Gleichung, aus der du die möglichen berechnen kannst. Weise dann nach, daß die so ermittelten Geraden tatsächlich Fixgeraden sind.
 
 
KimmeY Auf diesen Beitrag antworten »

Also, erstmal danke für die Antwort. Das mit x- bzw. Y-Achse hatte ich auch gemerkt, sonst wärs ja einfach gewesen. Dein dingens für den Internetexplorer funktioniert leider nicht unglücklich da kommt keine sicherheitswarnung sondern nur was von wegen unbekannter hersteller und wenn ich da ok klicke brichts den ladevorgang automatisch ab^^ hab davon aber auch nicht so viel ahnung....

Zu deinem anderen Beitrag. Wenn wir davon ausgehen, dass und daraus folgt , dann muss ja für gelten, und für die Gleichung der Geraden : .

Ich hätte jetzt den Punkt P' in die Geradengleichung eingesetzt, und dass müsste dann ja ne wahre Aussage ergeben. ; nach pq-Formel komm ich dann für lambda auf und

und nun??? bzw. hab ich da überhaupt richtig gedacht??? verwirrt
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig. Nur das Runden gefällt mir nicht! Das ist unchique!



Das sind die möglichen Steigung von Ursprungsgeraden, die Fixgeraden sind. Jetzt wähle einen beliebigen Punkt einer dieser Geraden,

z.B. für die Gerade mit dem "+",

und zeige, daß wieder auf dieser Geraden liegt.

Wenn da beim Herunterladen "unbekannter Hersteller" kommt, mußt du eventuell ankreuzen: "Diesem Hersteller vertrauen" (es ist Herr Mechling von http://www.dynageo.de). Manchmal kommt auch beim Internet Explorer oben unter der Adresse ein Warnhinweis. Diesen dann anklicken.

Eventuell hilft es auch, im Internet Explorer die Sicherheitsstufe für ActiveX-Objekte herabzusetzen:

Extras/Internetoptionen... -> Registerkarte "Sicherheit"
"Stufe anpassen" anklicken
Download von unsignierten Steuerelementen: auf "Eingabeaufforderung" stellen

Vielleicht geht es ja dann.

Natürlich ist es immer ein Risiko, Sicherheitseinstellungen zu lockern (es soll sogar Leute geben, die dem Internet Explorer prinzipiell mißtrauen). Das mußt du selbst entscheiden ...
KimmeY Auf diesen Beitrag antworten »

ok danke.
ich denke das bekomme ich hin.

jetzt nur noch ne andere dumme frage. Wir haben am anfang ja mehr oder weniger geraten, dass die Fixgerade eine Ursprungsgerade ist.
War das einfach so geraten oder irgendwie mehr oder minder gezielt geraten?

mir gehts im prinzip einfach darum, das war nur aufgabe a und dann kommen noch b und c. woher weiß ich da, dass da nicht vielleicht die Fix gerade den y-achsenabschnitt +1 oder sowas hat???
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Solange man über lineare Abbildungen noch nichts weiß, weiß man das gar nicht. Es wäre zunächst einmal durchaus denkbar, daß auch Geraden, die keine Ursprungsgeraden sind, Fixgeraden sind. Du kannst das ja überprüfen, indem du einen allgemeineren Ansatz wählst.

Zunächst schließt du die Parallelen zur -Achse aus. ist ein Punkt der Geraden . Sein Bildpunkt ist , und der liegt nicht mehr auf dieser Geraden. Somit sind die Parallelen zur -Achse keine Fixgeraden.

Und jede andere Gerade hat eine Gleichung der Form mit reellen Parametern (unsere alten Ursprungsgeraden sind da mit dabei). Jetzt soll eine solche Gerade Fixgerade sein. sind Punkte von . Bestimme deren Bildpunkte und beachte, daß auch deren Koordinaten wieder die Gleichung von erfüllen müssen. So erhältst du zwei Gleichungen in , aus denen du die Größen ermitteln kannst.
KimmeY Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann nur mal zur Kontrolle noch Aufgabe b:

(achja, a hat übrigens funktioniert, bei nem beliebigen punkt)


b) x'=2x+y
y'= x

so für den Fixpunkt:

x = x' und x' = 2x +y

--> x = 2x +y |-2x
-x = y (1)

y = y' und y' = x

--> y = x (2)

aus (1) und (2) folgt dann -x = x und das geht nur für x=0 und dann muss y= 0

Ich habe also einen Fixpunkt bei F(0/0)

So, dann die Fixgerade:

y=mx+b

P(1/ m+b) und Q(0/b)
P'(2+m+b/1) und Q'(b/0)

so, dann wenn ich ich Q' in die geradengleichung einsetzte:

0 = mb +b --> m=-1

und dann P' in die Geradengleichung:

1 = -1(2-1+b)+b
1 = -1( 1+b) +b
1 = -1 -b + b
1 = -1 --> Widerspruch, daher kann m=-1 nicht stimmen, wenn m ungleich -1 ist, dann muss b=0

--> y= mx für die Fixgerade

P(1/m) und P'(2+m/1)

dann P' in die Geradengleichung:

1=m(2+m)
1=2m +m²
m²+2m+1=0 --> pq-Formel



so, dann dass nochmal für einen beliebigen Punkt und :







dann noch mal für einen beliebigen Punkt und :







damit hab ich als Fixgeraden:

und

Teufel ich hoffe irgendwer nimmt sich die zeit da einmal drüberzulesen Augenzwinkern
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Bis zur Anwendung der pq-Formel habe ich es mir durchgelesen. Beim Lösen der Gleichung

0 = mb+b = (m+1)b

solltest du der Deutlichkeit halber eine Fallunterscheidung nach b gleich bzw. ungleich 0 durchführen und nicht sofort die Folgerung m=-1 ziehen (die man ja nur unter der Annahme "b ungleich 0" ziehen darf), welche dann nachträglich korrigiert wird. Das ist kein schöner Stil, ja strenggenommen logisch falsch.

Die quadratische Gleichung scheint mir einen Vorzeichenfehler zu haben, obwohl das Ergebnis dann stimmt. Vermutlich ein Schreibfehler.

Und bitte auch noch an die Parallelen zur y-Achse denken. Die werden durch y=mx+b nicht erfaßt.

Vielleicht kannst du ja gleich mit der Normalenform

ax+by = c (a²+b²>0)

der Geradengleichung arbeiten. Sie umfaßt alle möglichen Geraden.
KimmeY Auf diesen Beitrag antworten »

jo, wo du es sagst, so ist besser smile danke nochmal Prost das mach ich jetzt, und danach Schläfer
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Der Schluß deiner Rechnung ist logisch auch nicht in Ordnung. Thema: Beginne einen Beweis niemals mit der Behauptung! Mein Lieblingsstück: Wir beweisen .





Damit ist die Behauptung bewiesen.

Ist sie natürlich nicht. Aber genau nach diesem Schema gehst du vor. Und das Schema ist mit meinem Beispiel als hinreichend erledigt zu betrachten.

Gehe so vor:



Für die Koordinaten von ist nachzuweisen.

Beginne den Nachweis mit der rechten Seite der zu beweisenden Gleichung und forme in einer Termkette



um, bis das gewünschte herauskommt. Das geht ja hier ganz schnell.
KimmeY Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold


Gehe so vor:



Für die Koordinaten von ist nachzuweisen.



oik, ich verstehe wa sdu meinst, aber ich versteh nicht wie du das machen willst. ich hab das doch genauso gemacht wie du es vorschlägst. ich hab gesagt dass ein belibiger Bildpunkt P' meine gleichung auch erfüllen muss. also setzt ich in meine gleichung x' für x und y' für y ein und zeig dass beides gleich ist.
ich versteh was du meinst mit der dem quadrieren, aber wie soll ich das hier anders machen? ich kann doch nur über die 3. binomische Formel gehen und so zeigen, dass auf beiden seiten dasselbe steht verwirrt hab gerade irgendwie nen verständnisproblem........
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht nicht um die Rechnungen. Die stimmen, von kleineren Schreibfehlern abgesehen. Freude

Es geht um die Logik. Hier ist es natürlich nur eine Kleinigkeit. Aber prinzipiell ist es eben nicht in Ordnung. Und an anderen Stellen kann diese Form der "Logik" zu Fehlschlüssen führen, vgl. mein Lieblingsstück.

Das Problem sind die untereinander geschriebenen Gleichungen. Und als erste steht da gleich die Behauptung. Die soll aber doch gerade bewiesen werden. FANGE EINEN BEWEIS NIE MIT DER BEHAUPTUNG AN! Natürlich ließe sich das Ganze logisch retten, wenn man am Schluß noch anfügt: "Alle Umformungen lassen sich auch umgekehrt durchführen, daher ist mit der letzten Aussage auch die erste gezeigt."

Aber wozu? Wenn man es doch gleich richtig und viel einfacher haben kann. Hier der Beweis:

Für gilt:



Daher liegt auf .
KimmeY Auf diesen Beitrag antworten »

ah ok, LOL Hammer Hammer Hammer echt arm von mir - eigentlich ganz logisch was du da sagst. Aber nachher ist man meistens schlauer^^ naja, man hat halt ab und zu mal so durchhänger..... dafür war die matheklausur gut Big Laugh
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