Stammfunktion zu ner Elipse

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boards4ever Auf diesen Beitrag antworten »
Stammfunktion zu ner Elipse
Tja Hallo erstmal,

ich hoffe mal meine Frage ist nicht ganz zu dämlich. Ich hab leider die 11. Klasse übersprungen und hab mich dann nur so mehr recht als schlecht durch den Mathe LK gemogelt smile

Also Kurzform, ich hab leider keine wirklichen Grundlagen in Analysis. Ich kann zwar so die Grundregeln aber wenn f(x) ein bisschen komplizierter ist, setzt es bei mir aus smile

Also ich dachte ich rechne mal die Fläche von nem Halbmond aus. Dazu bräuchte ich allerdings ne Stammfunktion einer Ellipse.

Ich bin zu dem Schluss gekommen, dass f(x) = sqr(a-b*x^2) eine für meine Zwecke ausreichende Beschreibung der Elipse darstellt.

So aufleiten kann ich das natürlich nicht. Kann mir mal einer auf die Sprünge helfen ?

Danke im Voraus
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stammfunktion zu ner Elipse
Zitat:
Original von boards4ever
...
Ich bin zu dem Schluss gekommen, dass f(x) = sqr(a-b*x^2) eine für meine Zwecke ausreichende Beschreibung der Elipse darstellt.
...


Hi,
das stimmt nicht! Wie hast du denn das umgeformt? Nach leichter Rechnung kommt doch:



Und dies wird dann zu integrieren sein, bzw. die Stammfunktion davon zu ermitteln (bitte NICHT aufleiten!)

Hinweis: Das Integral führt u.a. zu einer arcsin - Funktion.

Gr
mYthos
board4ever Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich glaub ich habe ein Brett vor dem kopf... smile

Nach meiner bescheidenen Meinung sind



und



nicht dasselbe...

Selbst wenn Integrieren kann ich das auch nicht (auch wenns für mich immer "Aufleiten" heißen wird smile )

Ja, dass ne ArcSin Funktion bei rauskommt hab ich mir gedacht, denn Mathematica spuckt als Integral zu einer Kreisfunktion auch eine solche aus. Allerdings hilft mir das nicht wirklich weiter, denn ich würd jetzt auch gerne verstehen wie diese Integration funktioniert.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stammfunktion zu ner Elipse
Substitution:

x = a*sin(u)
dx/du = a.cos(u)
dx = a.cos(u)du




Das Integral wird nun zu

, für dx = a.cos(u).du ->>



Das Integral von cos²(u) kann man nun mittels zweimaliger partieller Integration oder nach Tabelle (Rekursion) durchführen, es ist

= (u + sin(u).cos(u))/2 = (nach Rückeinsetzen aus der Substitution)



Gr
mYthos
boards4ever Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank erstmal. Das hilft mir weiter. Werde jetzt mal versuchen das auch zu verstehen smile

Aber was bedeuten denn diese Punkte ? Ich meine bei b/a.Sqr und so weiter. Offentsichtlich hast Du ja nich * gemeint denn zu dem Post das deine und meine Gleichung nicht gleich sind hast Du ja nichts mehr geschrieben. Kann jemand hier nochmal meine Wissenslück schließen ?

Danke smile
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die Punkte bedeuten das Mal-Zeichen (*). Kann man meinetwegen auch weglassen.

Deine und meine Gleichung sind schlicht und ergreifend deswegen nicht gleich, weil deine falsch ist, leider.

Das habe ich doch geschrieben, und gefragt, wie du darauf kommst.
Forme doch die Ellipsengleichung einmal richtig um!

b²x² + a²y² = a²b²
a²y² = a²b² - b²x²
a²y² = b²(a² - x²)
y² = (b²/a²)*(a² - x²)
y = f(x) = (b/a)*sqrt(a² - x²)

Funkt's jetzt?

[EDIT]
Ich möchte aber nochmals deine Gleichung erörtern. Sie ist nur insoferne falsch, wenn a und b die Halbachsen der Ellipse darstellen sollen.

Fasst man a und b als beliebige Zahlen auf, so stellt die Funktion

f(x) = sqrt(a - bx²)

tatsächlich eine Ellipse dar. Die eine Halbachse ist dann sqrt(a/b) und die andere sqrt(a). So gesehen hast du natürlich nicht unrecht, es ist nur normalerweise nicht üblich, die Ellipsengleichung so anzuschreiben.

Was sollen eigentlich die Konstanten a und b bei dir darstellen?

Das Integral gelingt dann fast auf demselben Weg. Verwende die Substitution

x = sqrt(a/b)*sin(u), aus der Wurzel kann dann sqrt(a) ausgeklammert werden, und innerhalb der Wurzel steht dann 1 - sin²(u), was wiederum gleich cos(u) ist.

Wegen des linearen a und b sind die Konstanten etwas unangenehmer, ansonsten ändert sich jedoch nichts.

Gr
mYthos
 
 
boards4ever Auf diesen Beitrag antworten »

Ah so, daher weht der Wind. smile

Hatte nicht so ganz verstanden was Du meinst. Ich bin halt nicht von Deiner (bestimmt richtigen) Ellipsenformel ausgegangen, sondern hab mir überlegt wie man eine Ellipse funktional beschreiben könnte und dabei ist dann meine Formel rausgekommen. smile Werde jetzt mal gucken wo mein Denkfehler gelegen hat...

Vielen Dank nochmal smile
boards4ever Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm muss mich morgen mal hier anmelden, damit ich auch mal editen kann smile

Ja, a & b sollten nur zwei frei wählbare Variablen darstellen. Dann bin ich ja erleichtert, dass mir das Denken selbst im fortschreitenen Alter noch nicht völlig abhanden gekommen ist smile

Und nochmal : Vielen Dank für Deine Bemühungen
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