Primfaktoren

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14.04.2008, 15:15	HarryPotter	Auf diesen Beitrag antworten »
Primfaktoren Hi! Es sein $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ keine Primzahl. Zeigen Sie, dass es eine Primzahl p gibt mit $\begin{eqnarray} p \| n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} p \leq \lceil \sqrt{n} \rceil \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (\lceil x \rceil = x\; Aufrunden \;auf\; die\; naechst\; groeßere \;ganze \;Zahl). \end{eqnarray}$ Beweis: $\begin{eqnarray} \forall_{n\in \mathbb N} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1\|n \wedge 1\leq \lceil \sqrt{n} \rceil \end{eqnarray}$ Was sagt ihr dazu? Ist mir schon klar das man das auch anders beweisen kann, frage mich nur ob das zulässig ist bzw ob ihr einen besseren Beweis wisst. Habe nicht die Suchfunktion benutzt, weil ich´s just for fun gemacht habe. Wer will soll antworten.
14.04.2008, 15:34	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Primfaktoren Schau mal lieber in eure Primzahldefinition. Üblicherweise legt man fest, dass 2 die kleinste Primzahl ist - somit wäre 1 keine Primzahl.
14.04.2008, 15:57	HarryPotter	Auf diesen Beitrag antworten »
ja ok... dann ist es kein Beweis. Wenn man den Satz über die Primfaktorzerlegung (Zu jeder Zahl n aus N existiert eine Zerlegung derart das n = ab...k wobei a-k prim...) vorraussetzen würde, wäre ja nur noch zu zeigen das $\begin{eqnarray} p\leq \lceil \sqrt{n} \rceil \end{eqnarray}$ oder? EDIT: der Korrektheit halber (Zu jeder Zahl $\begin{eqnarray} n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ existiert eine Zerlegung derart das $\begin{eqnarray} n= a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_i \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} a_1 \;bis \;a_i \end{eqnarray*}$ prim)
14.04.2008, 16:02	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Aussage lässt sich ganz leicht indirekt beweisen.
14.04.2008, 16:08	HarryPotter	Auf diesen Beitrag antworten »
bist du fermat?
14.04.2008, 16:40	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Du überschätzt deine eigenen Fähigkeiten, wenn du glaubst, dass die Schwierigkeit dieses Problems mit der des großen Fermatschen Satzes vergleichbar wäre Der indirekte Beweis ist im Prinzip ein Einzeiler, daher ist es schwer, einen Tipp zu geben, ohne gleich die gesamte Lösung zu verraten.
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22.04.2008, 01:00	HarryPotter	Auf diesen Beitrag antworten »
Da n keine primzahl ist gibt es a und b mit 1<a , b<n und n = ab Nach dem Satz über die Primfaktorzerlegung gibt es Primzahlen $\begin{eqnarray} p_{1} und p_{2} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} p_{1} \end{eqnarray}$ \|a und $\begin{eqnarray} p_{2} \end{eqnarray}$ \|b Wären $\begin{eqnarray} p_{1}, p_{2} \end{eqnarray}$ > $\begin{eqnarray} \lceil \sqrt{n} \rceil \end{eqnarray}$ so folgte $\begin{eqnarray} \lceil \sqrt{n} \rceil^{2} \end{eqnarray}$ < $\begin{eqnarray} p_{1} \cdot p_{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \leq ab= n \end{eqnarray}$ Andererseits ist aber $\begin{eqnarray} n^{2} \leq \lceil \sqrt{n} \rceil^{2} \end{eqnarray}$ was einen Widerspruch ergibt. Also ist $\begin{eqnarray} p_{1} oder p_{2} \end{eqnarray}$ kleiner oder gleich $\begin{eqnarray} \lceil\sqrt{n}\rceil \end{eqnarray}$ . qed Immer noch zu land? was meinst du theresien?
22.04.2008, 09:17	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, ich sehe keinen Fehler.
22.04.2008, 11:50	Dunkit	Auf diesen Beitrag antworten »
Nur so aus Intersse: War das der, den du meintest oder gibt es noch einen kürzeren, therisen? ;-)
22.04.2008, 12:28	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Für jede $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ teilende Primzahl $\begin{eqnarray} p\neq n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} p>\lceil\sqrt n\rceil \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} 1<t:=\frac np<\frac n{\lceil\sqrt n\rceil}\leq \lceil\sqrt n\rceil \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} t\|n \end{eqnarray}$ . Jeder Primteiler von $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ ist dann $\begin{eqnarray} < \lceil\sqrt n\rceil \end{eqnarray}$ .

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