Urne und gleichfarbige Kugeln |
| 14.04.2008, 15:34 | Tilo | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Urne und gleichfarbige Kugeln Drei verschiedenfarbige Kugeln werden auf drei Kästchen mit den Nummern 1, 2 und 3 zufällig verteilt. Berechne die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses: Kästchen 1 ist leer Die Lösung ist mir klar: (2/3)^3 = 8/27 Mein Problem: Wenn ich die Aufgabe umformuliere in "drei gleichfarbige Kugeln", wieso ändert sich die Wahrscheinlichkeit? Die Lösung ist hier: 4/10 Warum? Wie kann sich die Wahrscheinlichkeit ändern, wenn sich lediglich die Farbe der Kugel ändert. Sie fällt ja dadurch nicht in einen anderen Kasten. Ich gebe nun noch ein Beispiel um mein Problem noch genauer zu erklären: Ein Wissenschaftler hat eine Maschine erfunden die drei Kugeln auf drei Kästchen zufällig verteilt. Ich schlage ihm eine Wette vor er soll meine 3 GLEICHFARBIGEN Kugeln nehmen und sie in die Maschine geben. Bleibt Kästchen 1 leer gewinnt er 2 Euro. Bleibt Kästchen 1 nicht leer so gewinne ich 1 Euro von ihm. Selbstverständlich nimmt er die Wette an, da (4/10)*2Euro - (6/10)*1Euro ihm immerhin einen positiven Erwartungswert versprechen. Nachdem ich die Wette gewonnen habe zeige ich ihm, dass ich die Kugeln vorher markiert hatte mit einem Schwarzlicht Stift und sie daher UNTERSCHEIDBAR waren. Er hat nun also einen fehler gemacht die Wette anzunehmen, da tatsächlich folgendes galt: (8/27)*2Euro -(19/27)*1Euro Dies Verspricht allerdings nur einen negativen Erwartungswert. Irgendein Denkfehler muss doch in der ganzen Sache stecken. Thanks in advance Tilo |
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| 14.04.2008, 17:02 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » |
Du bist im Irrtum: Die Wahrscheinlichkeit ändert sich nur, wenn du die Vorgehensweise der Zuteilung der Kugeln zu den drei Kästchen änderst. Offenbar hast du das beim Übergang vom ersten zum zweiten Problem getan! Wenn du wie bei 1) zunächst die erste rote Kugel auf die drei Kästchen zufällig verteilst, dann die zweite rote Kugel, und schließlich die dritte rote Kugel, dann landest du wieder bei 8/27. Erzähl doch mal genau, wie deine "zufällige" Zuteilung aussieht, wo du auf 4/10 kommst! |
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| 14.04.2008, 21:29 | Tilo | Auf diesen Beitrag antworten » |
Also die Wahrscheinlichkeit 4/10 ergibt sich wie folgt: Die 1 ist jeweils eine Kugel. Die 0 jeweils eine Leerstelle. Und die Spalten jeweils die Kästchen. 100 100 100 010 010x 010 001 001x 001 000 000 111 000 010 110 000 100 110 000 001x 011 000 100 101 000 001 101 000 010x 011 Hier sieht man nun, dass es 10 mögliche Ausgänge gibt von denen 4 (die mit dem x) "gute" Ausgänge sind |
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| 14.04.2008, 21:36 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » |
Meine Frage war: Wie schaffst du es, die Kugeln gleichwahrscheinlich (!!!) auf diese 10 Varianten zu verteilen? Jedenfalls nicht mit der Methode aus 1), d.h., indem du die drei Kugeln nacheinander und unabhängig voneinander gleichberechtigt auf die drei Kästchen verteilst. Da kommt nämlich folgende Verteilung der 10 Varianten heraus (links: Anzahl Kugeln in den drei Kästen / rechts Wkt): 003 : 1/27 012 : 3/27 021 : 3/27 030 : 1/27 102 : 3/27 111 : 6/27 120 : 3/27 201 : 3/27 210 : 3/27 300 : 1/27 Wenn im ersten Fach keine Kugeln liegen sollen, dann bedeutet das einen der ersten 4 von den 10 Fällen. Das heißt dann aber nicht Wkt 4/10, sondern die Summe der Wkten dieser ersten 4 Fälle: 1/27 + 3/27 + 3/27 + 1/27 = 8/27 . Und dann sind wir wieder bei 1). Was du daraus lernen solltest: Nicht jeder endliche Wahrscheinlichkeitsraum ist zwangsläufig Laplacesch ist, d.h., dass nicht jedes Elementarereignis dieselbe Wahrscheinlichkeit haben muss. Das muss sich schon aus dem Sachverhalt ergeben, was eben nicht immer der Fall ist. |
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