Starthilfe zum Integral

14.04.2008, 15:56

anybody

Starthilfe zum Integral

Kann mir jemand bitte Starthilfe zu folgender Funktion geben um von dieser die Stammfunktion zu berechnen.

$\begin{eqnarray*} x/sin^{2}x \end{eqnarray*}$

Wenn offensichtlich vielleicht auch woran ich erkenne welches Verfahren ich wähle.

Danke schon mal

14.04.2008, 15:57

anybody

Auf diesen Beitrag antworten »

vergessen
Die Grenzen sind von 0 bis Pi

14.04.2008, 16:18

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

In diesem Fall hilft partielle Integration.

Vorraussetzung dafür ist, dass du $\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{\sin^2 x}dx \end{eqnarray*}$ berechnen kannst.

ein tipp dafür: $\begin{eqnarray*} \sin^2 x = \tan^2 x \cdot \cos^2 x \end{eqnarray*}$

14.04.2008, 16:33

anybody

Auf diesen Beitrag antworten »

danke erstmal
danke erst einmal, ich sitze gerade an einer anderen Aufgaben schaue aber dann wieder auf die hier.

14.04.2008, 17:55

anybody

Auf diesen Beitrag antworten »

sorry, ich komme nicht weiter
also, mein Versuch mit der pariellen Integration scheiter an der Ableitung zumindest komme ich auf keine grünen Zweig.

So wäre $\begin{eqnarray*} (1/sin^{2}x)' = \frac{cosx + cosx}{sin^{3}x} \end{eqnarray*}$ , oder bin ich da falsch?

Ich sehe nicht wo ich mit der partiellen Intergration hin will.

14.04.2008, 18:06

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Idee ist, $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sin^2 x} \end{eqnarray*}$ zu integrieren und x abzuleiten.

14.04.2008, 18:35

anybody

Auf diesen Beitrag antworten »

so neben mir?
ich versuche es mal. Also Allgemein wird ja so partielle Integriert.

$\begin{eqnarray*} \int u' v=u v- \int u v' \end{eqnarray*}$

konkret komme ich nicht weiter wenn ich das x für das v einsetze komme ich auf.

$\begin{eqnarray*} \int u' x=u x- \int u * 1 \end{eqnarray*}$

Aber ich weiß nicht wie ich die Stammfunktion von dem $\begin{eqnarray*} 1 / sin^{2}x \end{eqnarray*}$ herausbekommen soll.

Stehe ich so neben mir?

14.04.2008, 19:10

Python

Auf diesen Beitrag antworten »

Form das Integral doch mal zu
$\begin{eqnarray*} \int ~\frac{1}{\sin^2 x}~ dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \int ~\frac{1}{\tan^2 x \cdot \cos^2 x}~ dx \end{eqnarray*}$
um und guck was du substituieren kannst Augenzwinkern

Kleiner Tip: was ist denn die Ableitung von $\begin{eqnarray*} tan x \end{eqnarray*}$ ?

Gruß,
Python

14.04.2008, 19:11

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

lesen...

Zitat:

Original von tmo
ein tipp dafür: $\begin{eqnarray*} \sin^2 x = \tan^2 x \cdot \cos^2 x \end{eqnarray*}$

denk mal an die Ableitung vom tangens.

14.04.2008, 19:34

anybody

Auf diesen Beitrag antworten »

danke erst einmal für die Tipps
ich werde gleich zur Arbeit fahren müssen und habe morgen einen vollen Tag, aber ich werde mich weiter dran versuchen. So wie ich das hier lese, werde ich nach dieser Aufgabe richtig was gelernt haben.

16.04.2008, 16:32

anybody

Auf diesen Beitrag antworten »

bekomme noch nicht die Kurve
Es tut mir leid, das ich immer noch dabei hänge. Also die Tipps habe ich verarbeiten können

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{sin^{2}x} = \int \frac{cos^{2}}{sin^{2}x * cos^{2}} = \int \frac{1}{tan^{2}x}= \int\frac{1}{t}=ln t= ln (tan^{2}x) \end{eqnarray*}$

aber leider sehe ich nicht wie ich sinnvoll die partielle Integration gestaltete

$\begin{eqnarray*} \int \frac{x}{sin^{2}x}=(\int \frac{1}{sin^{2}x}) * x - \int ln |tanx| *1 = ln |tanx| * x -tanx *ln |tan x| - tanx \end{eqnarray*}$

eigentlich erwarte ich etwas anderes oder ich durfte hiervon etwas nicht machen.

16.04.2008, 17:46

Python

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: bekomme noch nicht die Kurve
Das ist so nicht ganz korrekt. Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \int \frac{cos^{2}}{sin^{2}x * cos^{2}} dx \neq \int \frac{1}{tan^{2}x} dx \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{tan^{2}x}dx\neq \int\frac{1}{t}dt \end{eqnarray*}$

Versuch's doch erstmal so:

Form das Integral um zu:
$\begin{eqnarray*} \int ~\frac{1}{\sin^2 x}~ dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \int ~\frac{1}{\tan^2 x \cdot \cos^2 x}~ dx \end{eqnarray*}$

Und substituiere dann:

$\begin{eqnarray*} t = \tan(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{dt}{dx}=\frac{1}{\cos^2(x)} \end{eqnarray*}$

Gruß,

Python

/Edit: Zur Schreibweise: Bitte nicht das Differential dx am Ende des Integrals vergessen!

16.04.2008, 21:01

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: bekomme noch nicht die Kurve

Zitat:

Original von Python
$\begin{eqnarray*} t = \tan^2(x) \end{eqnarray*}$

du meinst $\begin{eqnarray*} t = \tan (x) \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

17.04.2008, 14:04

anybody

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: bekomme noch nicht die Kurve

Zitat:

Original von Python
Das ist so nicht ganz korrekt. Augenzwinkern

das stimmt natürlich.

$\begin{eqnarray*} \int \frac{cos^{2}}{sin^{2}x * cos^{2}} dx = \int \frac{1}{tan^{2}x * cos^{2}x} dx \end{eqnarray*}$

Hatte den Cosinus verschluckt.

Das nächste habe ich wohl auch etwas kurz geschrieben, ich habe den Tangens durch t substituieren wollen und die Ableitung hat mir dann, den Cosinus aus dem Nenner gekürzt. Da habe ich einen Schritt vergessen abzuschreiben.

Da cos/sin, weiterhin der Tangens bleibt, habe ich den dann auch wieder zusammen gezogen.
Deshalb hatte ich gemeint:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{tan^{2}x}dx = \int\frac{1}{t}dt \end{eqnarray*}$

Also wollte ich das gemacht haben, was Python geschrieben hatte.

Zitat:

Versuch's doch erstmal so:

Form das Integral um zu:
$\begin{eqnarray*} \int ~\frac{1}{\sin^2 x}~ dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \int ~\frac{1}{\tan^2 x \cdot \cos^2 x}~ dx \end{eqnarray*}$

Und substituiere dann:

$\begin{eqnarray*} t = \tan^2(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{dt}{dx}=\frac{1}{\cos^2(x)} \end{eqnarray*}$

/Edit: Zur Schreibweise: Bitte nicht das Differential dx am Ende des Integrals vergessen!

Das habe ich gerade beim editieren auch gemerkt, ist bei tüfteln unter gegangen.

Also im Endeffekt, komme ich noch bei dem letzten Ergebnis raus.

18.04.2008, 17:27

Python

Auf diesen Beitrag antworten »

Umformung des Integrals:
$\begin{eqnarray*} \int ~\frac{1}{\sin^2 x}~ dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \int ~\frac{1}{\tan^2 x \cdot \cos^2 x}~ dx \end{eqnarray*}$

Substituiere dann:

$\begin{eqnarray*} t = \tan(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{dt}{dx}=\frac{1}{\cos^2(x)} \end{eqnarray*}$

Du erhälst dann:
$\begin{eqnarray*} \int ~\frac{1}{\tan^2 (x) \cdot \cos^2 (x)}~ dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \int ~\frac{1}{t^2 \cdot \cos^2 (x)} cos^2(x) ~dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \int ~\frac{1}{t^2}~dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac{-1}{t}+c \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = -\cot(x)+c \end{eqnarray*}$

Und jetzt noch partielle Integration Augenzwinkern

Zitat:

Original von tmo
du meinst $\begin{eqnarray*} t = \tan (x) \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Jap. Tut mir Leid - ich hab da oben wohl die Copy-Paste Funktion überstrapaziert ^^
Ich habs korrigiert.

Gruß,
Python

Neue Frage »

Antworten »

Starthilfe zum Integral

Verwandte Themen