Numerische Integration

22.10.2005, 03:06	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Numerische Integration Um das Integral über das Intervall [a,b] zu berechnen, ist es häufig nötig das Intervall in kleinere Teilintervalle $\begin{eqnarray} [x_{j-1},x_j] \end{eqnarray}$ zu zerlegen, wobei $\begin{eqnarray} x_0=a<x_1<...<x_N=b \end{eqnarray}$ gegeben sind: $\begin{eqnarray} \int_{b}^{a}~f(x)~dx = \sum_{j=1}^N~ \int_{x_{j-1}}^{x_j}~f(x)~dx \end{eqnarray}$ (So weit ist das klar) Bezeichnen wir die Intervalllängen mit $\begin{eqnarray} h_j=x_j-x_{j-1} \end{eqnarray}$ , dann ist *** $\begin{eqnarray} \int_{x_{j-1}}^{x_j}~f(x)~dx = h_j \int_{0}^{1}~f(x_{j-1}+th_j)~dt \end{eqnarray}$ Setzen wir $\begin{eqnarray} g(t) := f(x_{j-1}+th_j) \end{eqnarray}$ , so verbleibt das Problem eine Approximation an $\begin{eqnarray} \int_{0}^{1}~g(t)~dt \end{eqnarray}$ zu berechnen. Kann mir vielleicht jemand die Schritte ab *** erläutern. Ich kann diese Substitutionen nicht nachvollziehen. Gruß Björn
22.10.2005, 10:14	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Numerische Integration Substituiere $\begin{eqnarray} x = x_{j-1} + t \cdot h_j \end{eqnarray}$ Dann ist eben ganz stur nach den Regeln der Substitution: $\begin{eqnarray} \int_{x_{j-1}}^{x_j}~f(x)~dx = \int_{0}^{1}~f(x_{j-1}+th_j) \cdot h_j~dt \end{eqnarray*}$
22.10.2005, 11:48	n!	Auf diesen Beitrag antworten »
@Bjoern Vielleicht auch nochmal zum Verständnis: Geht es hier darum die Exaktheit einer Quadraturformel zu testen? Denn dein Rechenweg sieht mir sehr danach aus,zumal ich das auch hinter mir habe. Hintergrund ist der,dass es reicht die Exaktheit der Quadratur auf dem Intervall [0;1] zu testen.

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