Definitheit von Matrizen

14.04.2008, 17:51

Nadine1987

Definitheit von Matrizen

Hallo,

ich habe folgende Matrix und möchte wissen, ob ich richtig liege:

A = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -5 & 0 \\ 0 & -5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

1. Rg(A) = 2 => reguläre Matrix
2. sie ist negativ (semi) definit, da:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -5 & 0 \\ 0 & -5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = - 5x^{2} + 0xy + 0xy - 5y^{2} < (\leq ) 0 \end{eqnarray*}$ für alle x und y ungleich 0

3. Matrixinverse lautet:

$\begin{eqnarray*} A^{ -1 }= \begin{pmatrix} - 1/5 & 0 \\ 0 & - 1/5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Danke!

14.04.2008, 18:06

marodeur

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Wenn du die Eigenwerte bestimmst, dann weißt du, ob das "semi" hin muss oder nicht.

negativ definit, falls alle Eigenwerte kleiner als Null sind
negativ semidefinit, falls alle Eigenwerte kleiner oder gleich Null

der Rest ist richtig.

14.04.2008, 18:21

Nadine1987

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RE: Definitheit von Matrizen
Eigenwerte bestimme ich doch über:

$\begin{eqnarray*} \mid A - \lambda I \mid = \begin{vmatrix} -5 - \lambda & 0 \\ 0 & - 5 - \lambda \end{vmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

und dann komme ich auf

$\begin{eqnarray*} \lambda ^2 + 10 \lambda + 25 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda 1/2 = - 5 \pm \sqrt{0} = - 5 \end{eqnarray*}$

also nur ein Eigenwert ? und negativ definit

14.04.2008, 18:28

marodeur

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Die Matrix hat den doppelten EW -5. Damit sind alle EW<0 und dann ist sie, wie du sagst, negativ definit.

Die EW kannst du bei dieser Art von Matrix direkt ablesen.

Weiterhin ist es günstiger sich anzugewöhnen $\begin{eqnarray*} \det (\lambda I-A)=0 \end{eqnarray*}$ zu bestimmen, sonst kann man mal bei den charakteristischen Polynomen ins straucheln kommen. (Ich sprech da aus Erfahrung) macht jedoch keinen Unterschied im Ergebnis.

14.04.2008, 18:41

Nadine1987

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Also wenn ich nur einen Eigenwert rausbekomme bei ner 2 x 2 - Matrix, zähle ich den doppelt? Resultiert das daraus, dass Rg(A) = 2 ist oder weil es eine 2 x 2 Matrix ist?

Bedeutet das analog bei einer 3 x 3 - Matrix mit Rg = 3, dass ich (gesetzt dem Fall) nur einen Eigenwert berechnen kann den dreifachen EW nehme? Was wäre denn dann, wenn ich da über Polynomdivision nur 2 EW errechne, wie zähle ich die dann? z.B. bei x^3 + 3x^2 - 4 = 0 errechne ich ja x1 = 1 und x2 = -2

14.04.2008, 18:47

marodeur

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Versuche das charakteristische Polynom als Produkt von linearfaktoren darzustellen

bei deiner Matrix wäre es:

$\begin{eqnarray*} \det (\lambda I -A)=0=(\lambda +5)^2 \end{eqnarray*}$

Anhand des Exponenten kannst du dann die Vielfachheit der Nullstellen / Eigenwerte erkennen.

Bei einer 3x3-Matrix kann es auftreten, dass die Eigenwerte zb. dreifach, doppelt und einfach oder alle 3 verschieden sind. das hängt von der Matrix ab.

Bei deiner Rechnung hast du ja auch 2 Lösungen errechnet:

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=-5\pm \sqrt{0} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1=-5+0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2=-5-0 \end{eqnarray*}$

so kannst du auch deine doppelte Nullstelle erkennen.

vgl. $\begin{eqnarray*} x^3=-1 \end{eqnarray*}$ dort ist -1 dreifache Nullstelle.

14.04.2008, 18:53

marodeur

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Zitat:

x^3 + 3x^2 - 4 = 0 errechne ich ja x1 = 1 und x2 = -2

rein logisch würd ich sagen, dass -2 die doppelte nullstelle ist. darauf kommt man wie oben.

Ploynome n. Grades haben genau n Nullstellen (Fundamentalsatz der Algebra) diese sind aber nicht zwangsweise alle reell.

15.04.2008, 11:10

Nadine1987

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Ok. Danke für die Erläuterung - eigentlich einleuchtend, nur in der Schule waren es dann eben immer nur zwei Nullstellen, zB. (x + 5)² = 0 hatte dann nur x1 = -5. Aber jetzt hab ich's begriffen.

15.04.2008, 11:42

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Zitat:

Original von marodeur
vgl. $\begin{eqnarray*} x^3=-1 \end{eqnarray*}$ dort ist -1 dreifache Nullstelle.

Nein, ist es nicht - es ist nur einfache Nullstelle. Mit

$\begin{eqnarray*} 0 = x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1) \end{eqnarray*}$

ergeben sich die anderen beiden, auch einfachen Nullstellen zu $\begin{eqnarray*} \frac{1\pm i\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}$ .

Was du meinst, ist vielleicht $\begin{eqnarray*} (x+1)^3=0 \end{eqnarray*}$ , das ist aber was anderes...

15.04.2008, 13:49

WebFritzi

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RE: Definitheit von Matrizen

Zitat:

Original von Nadine1987
2. sie ist negativ (semi) definit, da:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -5 & 0 \\ 0 & -5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = - 5x^{2} + 0xy + 0xy - 5y^{2} < (\leq ) 0 \end{eqnarray*}$

Das ist erstmal richtig! Das "(semi)" und das $\begin{eqnarray*} \le \end{eqnarray*}$ kannst du weglassen, denn

$\begin{eqnarray*} -5x^2 - 5y^2 = -5(x^2+y^2) \end{eqnarray*}$

Und das ist negativ für alle $\begin{eqnarray*} (x,y)\neq (0,0). \end{eqnarray*}$

15.04.2008, 19:42

marodeur

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Nein, ist es nicht - es ist nur einfache Nullstelle. Mit
$\begin{eqnarray*} 0 = x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1) \end{eqnarray*}$
ergeben sich die anderen beiden, auch einfachen Nullstellen zu $\begin{eqnarray*} \frac{1\pm i\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}$ .

Was du meinst, ist vielleicht $\begin{eqnarray*} (x+1)^3=0 \end{eqnarray*}$ , das ist aber was anderes...

ups, da war ich geistig wohl etwas abwesend. x³=0 hat ne dreifache Nullstelle.
also nehme alles zurück und behaupte das Gegenteil. Augenzwinkern

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