Polstelle??? / Asymptote???

22.10.2005, 13:47

delano909

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Polstelle??? / Asymptote???

hi! obwohl ich die suchfunktion benutzt habe, konnte ich aber keine beschreibung über asymptoten/ polstellen finden, die ich begreife Hilfe

Hilfe

wenn ich z.b. folgende gebr.rat. funktion habe:

$\begin{eqnarray*} 4x^2-3 / 2x+1 \end{eqnarray*}$ erhalte ich nach der polyn.Div

$\begin{eqnarray*} 2x-1+ R -2 / 2x+1 \end{eqnarray*}$ mit Df=IR \ (-0,5)

ist jetzt der R meine Y-A? wenn ja, ist der rest immer die asymptote? was ist hier meine polstelle? was ist überhaupt eine polstelle?

22.10.2005, 14:29

Frooke

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RE: Polstelle??? / Asymptote???
Hallo delano909:
Zuerst mal was zu Deiner Schreibweise: Setze vor Funktionen ein f(x)= oder y=... sonst steht da nur ein Term. Ausserdem musst Du Klammern setzen! Was Du da stehen hast ist

$\begin{eqnarray*} f(x):=4x^2-\frac{3}{2}x+1 \end{eqnarray*}$

Du meinst aber mit Sicherheit

$\begin{eqnarray*} f(x):=\frac{4x^2-3}{2x+1} \end{eqnarray*}$

Nun ist mir schleierhaft, was Du mit R meinst! Eine Polstelle ist eine Nullstelle des Nenners, die aber keine Nullstelle des Zählers ist (in diesem Fall wären gesonderte Untersuchungen von Nöten!).

Wenn R dein Rest ist: Der Rest ist für x->unendlich stets 0, daher ist das Ergebnis Deiner Polynomdivision OHNE den Rest eine ASYMPTOTISCHE Kurve der Funktion. Die Kurven sind also asymptotisch gleich.

22.10.2005, 14:33

delano909

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RE: Polstelle??? / Asymptote???
Ich habe im Forum folgendes gefunden:

Zitat:

Original von Leopold
Wenn du die rationale Funktion f(x) in der Form f(x)=p(x)/q(x) mit Polynomen p(x),q(x) in Zähler und Nenner gegeben hast, so versteht man unter einer Polstelle eine Nullstelle des Nenners, die nicht zugleich Nullstelle des Zählers ist...

Das würde für mich bedeuten eine Def-Lücke ist ist dann eine Polstelle, wenn sie nicht im Zähler vorkommt.
z.B. $\begin{eqnarray*} (x-2)(x+5) / (x+1)(x-2) \end{eqnarray*}$
dann ist -1 eine Polstelle und 2 nicht, da sie im Zähler vorkommt. Simmt das?

22.10.2005, 14:37

sqrt(2)

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Zu deiner Restschreibweise: Entweder du schreibst

$\begin{eqnarray*} (3x^2-3): (2x+1)=2x-1\text{ Rest }{-}2 \end{eqnarray*}$ ,

was allerdings eher nach Grundschule aussieht (und sogar da hat uns unsere Mathelehrerin das schon anders beigebracht, da war 7:3 = 2 + 1:3), oder du schreibst

$\begin{eqnarray*} (3x^2-3): (2x+1)=2x-1-\frac{2}{2x+1} \end{eqnarray*}$ .

Dann siehst du auch direkt, was Frooke bezüglich der Asymptote meinte.

22.10.2005, 14:40

delano909

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Sorry für meine Schreibweise, ich gebe mir demnächst mehr Mühe! Mir sind in Klausuren wegen Formfehler auch schon viele Punkte verloren gegangen...
Außerdem wollte ich den Rest ja in Bruchform schreiben, aber ich wußte nicht wie!

22.10.2005, 14:41

sqrt(2)

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Zitat:

Original von delano909
Das würde für mich bedeuten eine Def-Lücke ist ist dann eine Polstelle, wenn sie nicht im Zähler vorkommt.
z.B. $\begin{eqnarray*} (x-2)(x+5) / (x+1)(x-2) \end{eqnarray*}$
dann ist -1 eine Polstelle und 2 nicht, da sie im Zähler vorkommt. Simmt das?

In diesem Falle ja, allerdings drückt sich Leopold hier etwas missverständlich aus. Eine n-fache Nullstelle im Nenner muss im Zähler auch n-fach vorkommen:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{(x-2)(x+5)}{(x+1)(x-2)^2} \end{eqnarray*}$

hat eine Polstelle bei x = 2!

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22.10.2005, 14:47

delano909

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Wenn ich ehrlich bin verstehe ich jetzt gar nix mehr.

22.10.2005, 14:59

sqrt(2)

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Sagen wir es so: Wenn du Nenner und Zähler einer gebrochenrationalen Funktion in Linearfaktoren (und einen unzerlegbaren Rest) zerlegst und dann kürzst, dann gibt es zwei Möglichkeiten:

1. Der Nenner lässt sich komplett kürzen.

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{(x+2)^2(x-3)(x-4)}{(x+2)(x-3)}=(x+2)(x-4),~x\not\in\{-2,3\} \end{eqnarray*}$

ist so ein Fall. Die Funktion hat dann keine Polstellen.

2. Ein Teil des Nenners lässt sich nicht kürzen

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{(x+2)(x+3)}{(x+2)^2(x^2+2)}=\frac{x+3}{(x+2)(x^2+2)} \end{eqnarray*}$

ist hier ein Beispiel. Die Polstellen sind dann die Nullstellen der Faktoren im Nenner, also hier $\begin{eqnarray*} x=-2 \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} x^2+2 \end{eqnarray*}$ hat keine Nullstellen).

22.10.2005, 15:28

delano909

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Also mit meinen Worten gesagt: Wenn nach dem Kürzen ein Term im N(x) stehen bleibt und dieser eine Nullstelle hat, dann ist dies meine Polstelle.
Ich hoffe dass ich es jetzt verstanden habe!

Wenn ich das jetzt auf meine Aufgabe vom Anfang beziehe
$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{4x^2-3 }{2x + 1} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} =2x-1 + \frac{-2 }{2x + 1} \end{eqnarray*}$
habe ich im Z(x) die Nullstellen + - 0,866... und im N(x) die NS 0,5. Ist dann 0,5 meine Polstelle und 2x-1 meine Asymptote?

22.10.2005, 15:29

sqrt(2)

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Alles richtig. Freude

Freude

22.10.2005, 15:57

delano909

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Was passiert eigentlich mit dem Rest, wird er vernachlässigt?

22.10.2005, 16:04

sqrt(2)

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Wie Frooke schon sagte: Gerade weil der Rest für $\begin{eqnarray*} x\to\pm\infty \end{eqnarray*}$ null wird, ist der übrige Teil des Quotienten Asymptote zu f.

22.10.2005, 16:05

Frooke

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Nein! Sei
$\begin{eqnarray*} f(x):=\frac{p(x)}{q(x)}=g(x):=a(x)+\frac{\mathcal{R}}{b(x)} \end{eqnarray*}$

Es ist also f(x)=g(x)

aber NICHT f(x)=a(x). Dafür aber
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} a(x)= \lim_{x \to \infty} f(x)=\lim_{x \to \infty} g(x) \end{eqnarray*}$

Alles klar?

EDIT: Dem ist so, weil
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{\mathcal{R}}{b(x)} = 0 \end{eqnarray*}$

22.10.2005, 17:16

delano909

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Nein, das ist mir zu mathematisch erklärt!

22.10.2005, 17:36

delano909

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Wieso wird der Rest für x->+- unendlich 0?

22.10.2005, 17:49

sqrt(2)

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Mach dir doch ein Beispiel, du hast sogar selbst eins zur Hand:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}=\frac{4x^2-3}{2x+1}=2x-1-\frac{2}{2x+1} \end{eqnarray*}$ ,

also

$\begin{eqnarray*} a(x)&=&2x-1\\b(x)&=&q(x)=2x+1\\\mathcal{R}&=&-2 \end{eqnarray*}$

Jetzt ist

$\begin{eqnarray*} f(x)&\neq&a(x)\\\frac{4x^2-3}{2x+1}&\neq&2x-1 \end{eqnarray*}$ .

Es gilt aber

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}a(x)&=&\lim_{x\to\infty}f(x)\\\lim_{x\to\infty}2x-1&=&\lim_{x\to\infty}\frac{4x^2-3}{2x+1} \end{eqnarray*}$ .

Das selbst ist allerdings noch keine Bedingung dafür, dass $\begin{eqnarray*} a(x) \end{eqnarray*}$ eine Asymptote ist, aber man sieht es deutlicher, wenn man die Definition für eine Asymptote ansetzt.

Für eine Asymptote a zu f muss gelten

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}(f(x)-a(x))=0 \end{eqnarray*}$

Also

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}\left(2x-1-\frac{2}{2x+1}-a(x)\right)=0 \end{eqnarray*}$ .

Da $\begin{eqnarray*} \frac{2}{2x+1}\to0 \end{eqnarray*}$ , muss also

$\begin{eqnarray*} a(x)=2x-1 \end{eqnarray*}$

sein.

22.10.2005, 18:28

Frooke

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Gut dass Du das erwähnst, sqrt(2), das wollte ich auch noch anmerken im Zusammenhang mit Asymptoten: Prüfe (@delano) Asymptoten immer mit
$\begin{eqnarray*} \text{a)} \lim_{x\to\infty}\bigg(a(x)-b(x)\bigg)=0 \end{eqnarray*}$
und nicht mit
$\begin{eqnarray*} \text{b)} \lim_{x\to\infty}\frac{a(x)}{b(x)}=1 \end{eqnarray*}$

Denn a) bedeutet, dass a(x) und b(x) asymptotisch gleich sind, a(x) und b(x) voneinander also Asymptoten sind.

b) hingegen heisst nur, dass a(x) und b(x) sich asymptotisch gleich verhalten.

a) impliziert b), wenn also Funktionen asymptotisch gleich sind, verhalten sie sich auch asymptotisch gleich, das umgekehrte gilt aber nicht immer. Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \text{Sei }f(x):=x^2\text{ und }g(x):=x^2-x\text{.} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{Nun ist }\lim_{x \to \infty}\bigg(f(x)-g(x)\bigg)=\infty\text{, aber}\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=1\text{.} \end{eqnarray*}$

23.10.2005, 00:03

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Frooke
a) impliziert b), wenn also Funktionen asymptotisch gleich sind, verhalten sie sich auch asymptotisch gleich

Das gilt aber nur, falls es eine zahl $\begin{eqnarray*} S>0 \end{eqnarray*}$ und ein $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ gibt, sodass $\begin{eqnarray*} |b(x)|>S \end{eqnarray*}$ bleibt für alle $\begin{eqnarray*} x>x_0 \end{eqnarray*}$ .
Im anderen Falle ist diese Aussage falsch, siehe z. B.

$\begin{eqnarray*} a(x)=\frac{1}{x},\qquad b(x)=\frac{1}{2x} \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

23.10.2005, 12:16

Frooke

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Ja, hatte ich beim Schreiben nicht daran gedacht. Danke für die Ergänzung.

23.10.2005, 18:24

delano909

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Bis dahin erstmal danke an alle die mir geholfen haben! Prost

Prost

Muss mich nächste Woche mal genauer mit Grenzwerten auseinander setzen...

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