verktorrechnung: geradengleichung gesucht

02.04.2004, 19:38	Aryan	Auf diesen Beitrag antworten »
verktorrechnung: geradengleichung gesucht hallo leute, ich büffel bissel für meine abiprüfung....komm grad nicht wirklich weiter, hier die aufgabenstellung: Gegeben sind die Punkte A(1/1/-2), B(-1/1/1), C(1/-1/2) a) Stellen Sie die Gleichung für die Ebene auf: Hab ich gemacht, bei mir kommt das raus: $\begin{align} E= \(\array{1\\1\\-2}\) + k \(\array{-2\\0\\3}\) +l\(\array{0\\-2\\4}\) \end{align}$ b) Bestimmen Sie die Gleichung einer Geraden h, die in der Ebene E liegt, durch Punkt A geht und mit er Geraden BC einen rechten Winkel einschließt: Also erstmal Geradengleichung von BC aufstellen: $\begin{align} g= \(\array{-1\\1\\1}\) + v\(\array{-2\\-2\\1}\) \end{align}$ so weit, so schlecht...da die gesuchte gerade durch A geht, haben wir also schon den Ortsverktor, fehlt nur noch der Richtungsvektor. Dieser muss komplanar zur Ebene sein, und orthogonal zu BC. ich hab fälschlicher weise angenommen, ich berechne mal den normalvektor zu BC $\begin{align} -2n1-2n2+n3=0 \end{align}$ , da kam (-1,1,5,1) raus, und prüfe anschließend, ob das Ergebnis komplanar zur Ebene ist....war natürlich falsch :P dann hab ich diese gleichung aufgestellt, um einen vektor zu bekommen, der komplanar zur ebene ist: $\begin{align} 0 - 2k = n1 \end{align}$ $\begin{align} -2l + 0k = n2 \end{align}$ $\begin{align} 4l + 3k =n3 \end{align}$ brachte auch nix hat jemand vielleicht einen anderen ansatz, das problem zu lösen?
02.04.2004, 21:17	Aryan	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, bin ein stückchen weiter, hab folgendes gleichungssystem aufgestellt I $\begin{align} 0l-2k=n1 \end{align}$ II $\begin{align} -2l+0=n2 \end{align}$ III $\begin{align} 4l+3k=n3 \end{align}$ IV $\begin{align} -2n1-2n1+n3=0 \end{align}$ die ersten drei bedinungen weisen die komplanarität des richtungsvektors N zu den richtungsverktoren der ebenen. die letzte bedinung die orthogonalität.... aus der gleichung I habe ich abgeleitet $\begin{align} k=-\frac{1}{2} n1 \end{align}$ aus der gleichung II habe ich abgeleitet $\begin{align} k=-\frac{1}{2} n2 \end{align}$ dann habe ich die Gleichungen III und IV miteinander addiert, so dass n3 rausfiel. $\begin{align} 4l + 3k - 2n1-2n2=0 \end{align}$ . In diese Gleichungen habe ich für l und k n1 und n2 eingesetzt. so konnte ich schön das verhältnis zwischen den beiden berechnen: $\begin{align} -2n2-\frac{3}{2} n1-2n1-2n2=0 \end{align}$ woraus ich dann das verhältnis berechnet habe: $\begin{align} n2=\frac{7}{8} n1 \end{align}$ jetzt habe ich in der Gleichung III für l und k n1 eingesetzt. das ich für k=-(1/2)n1 einsetzen muss, weiß ich ja. was ich für l einsetzen muss, weiß ich noch nicht, nur, dass l=-(1/2)n2 ist. Das verhältnis von n1 und n2 kenn ich aber, darum war das nciht all zu schwer. also alles eingesetzt: $\begin{align} 4(-\frac{1}{2} * \frac{7}{8}n1) + 3(- \frac{1}{2}n1)=n3 \Rightarrow n3=-\frac{13}{4}n1 \end{align}$ nun weiß ich das verhältnus von N1 zu N2, und N1 zu N3. so weit, so schlecht. für N1 einfach 1 eingesetzt und die restlichen Werte ermittelt. Zur Kontrolle eingesetzt....falsch! ich find den fehler in der rechnung nicht...hab ich irgendwo ein mathematisches Gesetz gebrochen? oder war der lösungsweg korrekt?
02.04.2004, 21:29	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, der gesuchte Normalvektor liegt einerseits in der Ebene e und ist senkrecht zu BC. Daher muss er sowohl normal zu BC als auch senkrecht zum Normalvektor der Ebene sein! Bestimme also den Normalvektor der Ebene und dann von diesem und dem Vektor BC durch vektorielle Multiplikation den gesuchten Richtungsvektor der Geraden h. Dieses Verfahren ist wesentlich einfacher als dein Vorgehen mit den zahlreichen Gleichungen und Unbekannten. Gr mYthos Lösung: $\begin{eqnarray} \vec{n_e} = \begin{pmatrix}3\\4\\2\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ (abgekürzt) $\begin{eqnarray} \vec{h} = \begin{pmatrix}8\\1\\-14\end{pmatrix} \end{eqnarray}$
02.04.2004, 22:40	Aryan	Auf diesen Beitrag antworten »
danke für die antwort! so gehts auch, sogar einfacher . mittlerweile habe ich den fehler in meiner obigen rechnung entdeckt, ich muss mich mal wieder mit bruchrechnung beschäftigen danke für die lösung!

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