Beweis einer Ungleichung

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23.10.2005, 11:46	maxhase	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis einer Ungleichung Folgendes ist gegeben: $\begin{eqnarray} \sqrt{xy} \leq \frac{1}{2} (x + y) \end{eqnarray}$ Das soll ich jetzt beweisen, weiß aber noch nicht mal im Ansatz, wie man das macht. Bitte um Hilfe. Thx im Voraus
23.10.2005, 11:59	4c1d	Auf diesen Beitrag antworten »
Sind x und y reelle Zahlen? Wenn ja, müsste eigentlich noch die Bedingung $\begin{eqnarray} x,y\geq 0 \end{eqnarray}$ dabeistehen - sonst stimmt die Ungleichung nicht! Also kannst du quadrieren, ohne die Aussage zu verändern. Alternativ kannst du auch gleich $\begin{eqnarray} \sqrt{xy} \end{eqnarray}$ auf die andere Seite bringen und eine binomische Formel anwenden.
23.10.2005, 12:31	maxhase	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, $\begin{eqnarray} x, y \geq 0 \end{eqnarray}$ habe jetzt folgendes getan: $\begin{eqnarray} (\sqrt{xy})^{2} \leq (\frac{1}{2} (x+y))^{2} \end{eqnarray}$ das gibt dann: $\begin{eqnarray} xy \leq \frac{1}{4} (x^2 + 2xy + y^2) \end{eqnarray}$ Division durch $\begin{eqnarray} \frac{1}{4} \end{eqnarray}$ gibt dann: $\begin{eqnarray} 4xy \leq x^2 + 2xy + y^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 4xy \end{eqnarray}$ auf die andere Seite holen: $\begin{eqnarray} 0 \leq x^2 - 2xy + y^2 \end{eqnarray}$ Binomische Formel anwenden: $\begin{eqnarray} 0 \leq (x-y)^2 \end{eqnarray}$ Das sollte für alle $\begin{eqnarray} x,y \in \mathbb R \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x,y \geq 0 \end{eqnarray}$ stimmen, oder bin ich damit noch nicht fertig?
23.10.2005, 12:37	4c1d	Auf diesen Beitrag antworten »
Doch, das stimmt so (Quadrate sind immer nichtnegativ)
23.10.2005, 12:45	maxhase	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht kannst Du mir gleich nochmal auf die Sprünge helfen: als nächstes soll ich die Teilbarkeitsregel für 3 beweisen, d.h. wenn die Quersumme einer Zahl durch 3 teilbar ist, ist es die Zahl selber auch. Irgendeine Idee?
23.10.2005, 12:58	Sciencefreak	Auf diesen Beitrag antworten »
Weißt du was Kongruenzrechnung ist? Wenn ja, dann sollte das ganze nicht allzu schwer werden, du kannst dann nämlich einfach die Reste der zehnerpotenzen betrachten. Ansonsten kannst du es auch so machen. a ist deine komplette Zahl und b ist dessen letzte Stelle, dann gilt a-b ist durch 10 teilbar, somit kannst du die Zahl als 10c schreiben, diese Zahl hat natürlich den gleichen Rest bei der Division durch 3 wie c, da 9c durch 3 teilbar ist. Wenn die Summe der Reste dann durch 3 teilbar ist, so war die Zah auch vorher durch 3 teilbar. Versuch dir mal daraus einen Beweis zusammenzubasteln
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23.10.2005, 13:02	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
siehe auch hier
23.10.2005, 13:09	maxhase	Auf diesen Beitrag antworten »
ja... aber ich kann mit beidem nicht wirklich was anfangen... sorry...
23.10.2005, 13:55	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Also: eine Zahl im Dezimalsystem ist doch die Summe von irgendwelchen Zehnerpotenzen. Welchen Rest hat jede Zehnerpotenz bei Division durch 3?
23.10.2005, 13:58	maxhase	Auf diesen Beitrag antworten »
1, würd' ich jetzt mal behaupten
23.10.2005, 13:59	Sciencefreak	Auf diesen Beitrag antworten »
Also nehmen wir einfach mal eine dreistellige Zahl a100+b10+c, wobei a,b und c die Ziffern sind. Wenn man den Rest dieser Zahl bei der Division durch 3 bestimmen will, so kann man ja auch einfach die Zahl in Summanden zerlegen undderen Reste addieren. Die Zahl 100a lässt bei der Division durch 3 den gleichen Rest wie a, die Zahl 10-b den gleichen Rest wie b. Somit wäre der Rest der Zahl a100+b10+c bei der Division durch 3 gleich a+b+c Dabei muss man jedoch aufpassen, dass 7/3 auch den Rest 4 ergeben könnte, deshalb hat man ja am Ende noch mal die Überprüfung ob a+b+c durch 3 teilbar sind. Versuch das mal zu verallgemeinern Edit:Ich schreibe wirklich viel zu langsam
23.10.2005, 14:06	maxhase	Auf diesen Beitrag antworten »
das Grundsätzliche habe ich schon verstanden... Ich sollte vielleicht noch erwähnen, dass ich von modulo vor 'ner knappen Stunde das erste Mal gehört habe. Und ohne das klappt diese Restrechnerei nicht, oder?
23.10.2005, 14:16	Sciencefreak	Auf diesen Beitrag antworten »
Hinter dieser Geschichte steht auch einfach eine logische Überlegung. Du musst ja nicht alles zur Kongruenzrechnung wissen, sondern einfach nur die Sachen die du brauchst anwenden können und diese sollte man durch logische überlegungen erschließen können. Es sieht natürlich schöner aus, wenn man das in schöner mathematischer Form macht, aber die logischen Überlegungen sind deshalb trotzdem nicht falsch

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