Warum ist dieser Beweis nicht von IR auf Q übertragbar?

Neue Frage »

23.10.2005, 15:32

Woelfin

Auf diesen Beitrag antworten »

Warum ist dieser Beweis nicht von IR auf Q übertragbar?

Hallo

,

ich bin ganz neu hier, und hab gleich schon Fragen verwirrt

also ich bin in Analysis nicht so der Hit... und habe keine Ahnung wo hier der Fehler liegt...

Also die Frage ist, warum der Beweis, dass die reellen Zahlen (im Intervall [0, 1] nicht abzählbar sind nicht auf die rationalen Zahlen übertragbar sind.

Dazu wird das Gegenteil angenommen, und es wird eine Aufzählung der Elemente in [0,1] betrachtet. Das i-te Element dieser Aufzählung umgibt man mit einem Intervall der Länge 10 ^(-i) mit i=1,2,3...

Die Vereinigung dieser Intervalle ergibt eine vollständige Überdeckung des Intervalls [0,1]. Beachtet man jedoch, die Summe der Intervalllängen so erhält man einen Wert kleiner als ein. => Widerspruch.

Warum kann man diesen Beweis nicht wörtlich auf die Rationalen Zahlen übertragen?

Klar die sind abzählbar Teufel

aber wo liegt der Fehler in der Argumentation?
Und was genau ist eine vollständige Überdeckung? Mir sagt nur offene Überdeckung was verwirrt

Vielen lieben Dank smile

23.10.2005, 16:22

papahuhn

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Warum ist dieser Beweis nicht von IR auf Q übertragbar?
Ich antworte mal, obwohl ich von diesem Beweis zum ersten mal höre. Außerdem hast du ein paar Wörter verschluckt, die zum Verständnis beitragen könnten.

Wenn ich es richtig verstanden habe, liegt der Widerspruch darin, dass die Vereinigung dieser Intervalle $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ abdeckt, aber in der Längensumme kleiner 1 ist.

Bei diesem Beweis setzt man gewisse Informationen über $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ voraus, nämlich dass sie ein Kontinuum bilden. Es gibt nichts dazwischen. Da man mit der Abzählung alle Zahlen erwischt, muss deren Vereinigung bereits das komplette Intervall ergeben; die Vereinigung der Teilintervalle muss dann auf jeden Fall größergleich eins sein.

Da der Beweis ein Kontinuum voraussetzt, kannst du ihn nicht auf die rationalen Zahlen übertragen. Wenn du es tust, gibt es keinen zwingenden Widerspruch. Denn die Vereinigung aller rationalen Zahlen in $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ deckt das Intervall nicht komplett ab, so dass die Längensumme der Teilintervalle nicht größer eins werden muss.

Diese Aussagen sind aber komplett ohne Gewähr.

23.10.2005, 17:47

Woelfin

Auf diesen Beitrag antworten »

Erst einmal danke für die Hilfe... was ist denn ein Kontinuum??? Ich habe Ana1 & Ana2 gehört, und das hier ist eine Zusatzaufgabe auf einem Info-Blatt von mir.

Also ich habe diese Summe der einzelnen Intervalle mal ausgerechnet, und wenn ich mich nicht irre ist es 1/9.

Warum das aber ein Widerspruch ist versteh ich nicht...

Zu dem unverständliches Text: sorry... ich hab nicht gewusst, dass es so was wie ein Formeleditor gibt... ich tipps grad nochmal ab wie es auf dem Blatt steht...

Man kann folgendermaßen beweisen, dass die Menge der reellen Zahlen im Intervall $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ nicht abzählbar ist:
Wir nehmen dazu das Gegenteil an und betrachten eine Aufzählung der Elemente in $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ . Das i-te Element dieser Aufzählung umgeben wir mit dem Intervall I (index i) Teilmege $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ der Länge $\begin{eqnarray*} 10^{-i} \end{eqnarray*}$ , i=1,2,3... Die Vereinigung $\begin{eqnarray*} \bigcup \end{eqnarray*}$ I (index i für i>0) ergibt eine vollständige Überdeckung des Intervalls $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ .
Betrachtet man jedoch die Summen der Intervalllängen $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~\mid I(index i) \mid \end{eqnarray*}$ (mit n = unendlich), so erhält man einen Wert kleiner als 1. Damit haben wir einen Widerspruch hergeleitet.
Wir übertragen dieen Beweis wörtlich auf die rationalen Zahlen in $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ . Warum ist das falsch?

Warum ist das oben überhaupt ein Widerspruch???

23.10.2005, 18:23

papahuhn

Auf diesen Beitrag antworten »

Nach einigem Überlegen scheint mir das etwas Maßtheorie zu sein. Mal schauen, ob ich hier mathematisch korrekt argumentiere.

Für $\begin{eqnarray*} I = [0,1], x_n \in I \end{eqnarray*}$ sei $\begin{eqnarray*} I_n \end{eqnarray*}$ ein Intervall mit $\begin{eqnarray*} x_n \in I_n \wedge \mu(I_n) = 10^{-n} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ die "Breitenfunktion" darstellt. Es gilt
$\begin{eqnarray*} \{x_n\} \subset I_n \Rightarrow I = \bigcup\limits_{n \in \mathbb N} \{x_n\} \subset \bigcup\limits_{n \in \mathbb N} I_n \Rightarrow 1 = \mu(I) \leq \mu \left(\bigcup\limits_{n \in \mathbb N} I_n \right) \leq \sum_{n \in \mathbb N} \mu(I_n) = \frac 1 9 \end{eqnarray*}$ .

Das ist nicht auf $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ übertragbar, weil $\begin{eqnarray*} I \neq \bigcup\limits_{n \in \mathbb N}\{x_n\} \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} x_n \in \mathbb ([0,1] \cap \mathbb Q) \end{eqnarray*}$ !
Kontinuum bedeutet einfach, dass jeder Punkt auf dem Zahlenstrahl durch eine reelle Zahl abgedeckt ist. Man sagt auch, $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist stetig.

Übrigens lässt sich so beweisen, dass $\begin{eqnarray*} \mu(\mathbb Q) = 0 \end{eqnarray*}$ gilt, wenn man nicht $\begin{eqnarray*} 10^{-n} \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} k^{-n} \end{eqnarray*}$ schreibt, und $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ gegen unendlich laufen lässt.

23.10.2005, 18:27

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn $\begin{eqnarray*} I_i \end{eqnarray*}$ das Intervall der Breite $\begin{eqnarray*} 10^{-i} \end{eqnarray*}$ ist, das in der unterstellten Abzählung der reellen Zahlen die $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ -te reelle Zahl enthält, so gilt:

$\begin{eqnarray*} [0,1] \subseteq \bigcup_{i=1}^{\infty}~I_i \end{eqnarray*}$

woraus man dann nach Übergang zu den Längen $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mu \left( [0,1] \right) \leq \mu \left( \bigcup_{i=1}^{\infty}~I_i \right) \leq \sum_{i=1}^{\infty}~\mu \left( I_i \right) \end{eqnarray*}$

erhält. Daraus ergibt sich der Widerspruch

$\begin{eqnarray*} 1 \leq \sum_{i=1}^{\infty}~10^{-i} = 0{,}\bar{1} \end{eqnarray*}$

Wenn du jetzt dagegen annimmst, daß $\begin{eqnarray*} I_i \end{eqnarray*}$ das Intervall der Breite $\begin{eqnarray*} 10^{-i} \end{eqnarray*}$ ist, das bei einer Abzählung der rationalen Zahlen von $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ die $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ -te rationale Zahl enthält, kannst du schon

$\begin{eqnarray*} [0,1] \subseteq \bigcup_{i=1}^{\infty}~I_i \end{eqnarray*}$

nicht mehr ableiten. Lediglich $\begin{eqnarray*} [0,1] \cap \mathbb{Q} \subseteq \bigcup_{i=1}^{\infty}~I_i \end{eqnarray*}$ kann man folgern. Damit scheitert hier schon der vermeintliche Analogiebeweis.

Wie schon papahuhn geschrieben hat, ist das Intervall $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ ein Kontinuum (stetig durchfahrbare Strecke ohne Lücken), während $\begin{eqnarray*} [0,1] \cap \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ eine völlig durch Löcher zerfressene "Strecke" ist, bei der du von keinem Punkt zu einem anderen gelangen kannst, ohne nicht unendlich oft abzustürzen.

23.10.2005, 18:31

papahuhn

Auf diesen Beitrag antworten »

Hehe, wie ich sehe, habe ich richtig argumentiert. smile

23.10.2005, 23:20

Woelfin

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Leopold
woraus man dann nach Übergang zu den Längen $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mu \left( [0,1] \right) \leq \mu \left( \bigcup_{i=1}^{\infty}~I_i \right) \leq \sum_{i=1}^{\infty}~\mu \left( I_i \right) \end{eqnarray*}$

erhält. Daraus ergibt sich der Widerspruch

tschuldigung dass ich schon wieder so dumm frage...
aber das oben zitierte ist der Punkt den ich nicht verstehe also warum ist $\begin{eqnarray*} \mu [0,1] \end{eqnarray*}$ kleiner als das was rechts steht? Ist $\begin{eqnarray*} \mu [0,1] \end{eqnarray*}$ nicht $\begin{eqnarray*} | [0,1] | = 1 \end{eqnarray*}$ ???

Und wieso darf ich einfach zu den Längen übergehen, und kann behaupten, dass die Aussage noch stimmt???

Hilfe

Vielen vielen Dank...

Neue Frage »

Antworten »

Warum ist dieser Beweis nicht von IR auf Q übertragbar?

Verwandte Themen