Beweis ggT(a,b) * kgV(a,b) = ab

14.04.2008, 23:14

lostgeek

Beweis ggT(a,b) * kgV(a,b) = ab

Hi,

Ich arbeite mich gerade durch „Einführung in die Mathematik“ von Helmut Koch durch und bin auf folgende Aufgabe gestossen:

Man beweise: ggT(a,b) * kgV(a,b) = ab

Hinweis: Man benutze Satz 1.19 und Satz 1.20 zum Beweis von
$\begin{eqnarray*} \frac{ab}{\mbox{kgV}(a,b)}|\mbox{ggT}(a,b) \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \mbox{kgV}(a,b)|\frac{ab}{\mbox{ggT}(a,b)} \end{eqnarray*}$

Satz 1.19: Seien $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_2 \end{eqnarray*}$ natürliche Zahlen. Dann teilt jeder Teiler von $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_2 \end{eqnarray*}$ den ggT von $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_2 \end{eqnarray*}$ .

Satz 1.20: Seien a und b natürliche Zahlen und sei c ein gemeinsames Vielfaches von a und b. Dann gilt $\begin{eqnarray*} \mbox{kgV}(a,b)|c \end{eqnarray*}$

Mein Problem ist, dass ich keine Ahnung hab, wie ich da ran gehen soll.

Also aus den Sätzen verstehe ich
$\begin{eqnarray*} \mbox{ggT}(a,b) | ab \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \mbox{kgV}(a,b) | ab \end{eqnarray*}$

Kann mir irgendwer sagen, wie ich anfangen soll?

Gruss,
lostgeek

15.04.2008, 03:31

Lazarus

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Ich kenne das Buch nicht, allerdings finde ich das man solch eine fundamentale Aussage auch direkt aus den Definitionen des ggT bzw kgV beweisen könnte.
Imo wäre das sogar leichter weil direkt... eine Zeile mit kurzer Erklärung .... aber gut. Sei es wie es sei!

Dein Versuch erstmal die Aussage der Sätze zu verstehn um sie in Kontext zu bringen ist nur deshalb nicht gewinnversprechend weil du sie nicht genau genug gelesen hast!

Der Satz 1.19 gibt dir nämlich viel genauer Informationen als du sie aufgeschrieben hast.
Die Aussage lautet viel mehr wenn $\begin{eqnarray*} \overline{a}|a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overline{b}|b \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} \overline{a}|\operatorname{ggT}(a,b) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overline{b}|\operatorname{ggT}(a,b) \end{eqnarray*}$

Hilft dir das schon weiter ?

15.04.2008, 15:06

WebFritzi

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Zitat:

Original von Lazarus
wenn $\begin{eqnarray*} \overline{a}|a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overline{b}|b \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} \overline{a}|\operatorname{ggT}(a,b) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overline{b}|\operatorname{ggT}(a,b) \end{eqnarray*}$

Das stimmt nicht!

Ich bin kein Zahlentheoretiker, und es kann gut sein, dass es viel einfacher zuz beweisen geht. Was soll's...:

ab ist gem. Vielfaches von a und b. Aus 1.20 folgt also kgV(a,b) | ab. Es gibt demnach eine nat. Zahl k, so dass

$\begin{eqnarray*} k\cdot kgV(a,b) = ab. \end{eqnarray*}$

Daran sieht man auch sofort, dass k sowohl a als auch b teilt. Nach 1.19 gilt: k | ggT(a,b). Es gibt daher eine nat. Zahl r, so dass

$\begin{eqnarray*} ggT(a,b) = k\cdot r. \end{eqnarray*}$

Es folgt

$\begin{eqnarray*} ggT(a,b)\cdot kgV(a,b) = k\cdot r\cdot kgV(a,b) = r\cdot ab. \end{eqnarray*}$

Wegen r | ggT(a,b) gilt auch r | kgV(a,b). Wir bekommen somit die Gleichung

$\begin{eqnarray*} ggT(a,b)\cdot \frac{kgV(a,b)}{r} = ab. \end{eqnarray*}$

Da ggT(a,b) ein Teiler von sowohl a als auch b ist, folgt aus dieser Gleichung, dass $\begin{eqnarray*} \frac{kgV(a,b)}{r} \end{eqnarray*}$ ein gemeinsames Vielfaches von a und b ist. Damit und mit

$\begin{eqnarray*} \frac{kgV(a,b)}{r} < kgV(a,b) \;\text{ falls }\; r > 1 \end{eqnarray*}$

folgt r = 1 und damit die Behauptung.

15.04.2008, 15:10

Lazarus

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Zitat:

Original von WebFritzi

Zitat:

Das stimmt nicht!

Stimmt. es müsste

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \overline{a}|a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overline{a}|b \end{eqnarray*}$ dann ....

Danke für den Hinweis ... war wohl schon bisschen spät ^^

15.04.2008, 16:15