LGS mit Variablen lösen? Aufgabenverständnis...

23.10.2005, 17:25	TheSentinel	Auf diesen Beitrag antworten »
LGS mit Variablen lösen? Aufgabenverständnis... Hallo allerseits, ich hab grade ein paar Probleme mit den Matheaufgaben, die wir als Hausaufgabe bekommen haben. Es geht um folgende Aufgabe: Bestimmen Sie die Anzahl der Lsöungen in Abhängigkeit von t: $\begin{eqnarray} x - 2\cdot y + t\cdot z = 4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -2\cdot x + (t+3)\cdot y =-11 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -t\cdot x + 2\cdot y + (t^{2}-9 \cdot t-3)\cdot z=t^{2}-6 \cdot t +3 \end{eqnarray}$ Geben Sie im Fall der eindeutigen Lösbarkeit die Lösungsmenge an. Geben Sie für t=3 die Lösungsmenge an. So nun mein Problem: Ich hab das LGS auf Dreiecksform gebracht und nun weiß ich nicht so ganz was ich jetzt machen muss. Wäre echt super wenn mir da jemand die Aufgabe insofern erklären könnte, dass ich mal genau weiß, wie ich denn die Lösungsmengen da angeb. Danke schon mal. MfG Martin
23.10.2005, 19:00	mercany	Auf diesen Beitrag antworten »
zeig dochmal was du hast!
23.10.2005, 19:10	TheSentinel	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich hab folgendes gemacht: $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 1 & -2 & t & 4\\ -2 & (t+3) & 0 & -11\\ -t & 2 & (t^{2}-9t-3) & (t^{2}-6t+3) \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Hier hab ich zuerst die Zeile I mit 2 multipliziert und dann zur Zeile II addiert und anschließend die Zeile I mal t genommen und zur dritten addiert. $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 1 & -2 & t & 4\\ 0 & (t-1) & 2t & -3\\ 0 & (-2t+2) & (2t^{2}-9t-3) & (t^{2}-6t+3) \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Jetzt hab ich noch die Zeile II mal 2 genommen und zur Zeile III addiert. $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 1 & -2 & t & 4\\ 0 & (t-1) & 2t & -3\\ 0 & 0 & (2t^{2}-5t-3) & (t^{2}-2t-3) \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Jetzt hab ich mein LGS in der Dreiecksform. Und weiter hab ichs noch net so ganz verstanden. Ich blick irgendwie net wie ich das mit den Lösungsmengen mach? Wie berechne ich die? Wann gibt's denn genau eine Lösung? Wann keine? usw... mfg martin
24.10.2005, 10:12	merlin25	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Martin, das sieht doch schon mal gut aus! Du hast also jetzt folgende Gleichung (wenn Du die letzte Zeile betrachtest). $\begin{eqnarray} (2t^2-5t-3) \cdot z=t^2-2t-3 \end{eqnarray}$ Umgeformt ergibt sich also: $\begin{eqnarray} z=\frac{t^2-2t-3}{2t^2-5t-3} \end{eqnarray}$ Wenn Du nun die Nullstellen der beiden quadratischen Gleichungen suchst, kannst Du den Bruch auch so darstellen: $\begin{eqnarray} z=\frac{(t-3)\cdot (t+1)}{2\cdot (t-3)\cdot (t+\frac{1}{2} )} \end{eqnarray}$ Wie Du sicherlich weißt, darf man nicht durch Null teilen... Was heißt das in diesem Fall für z? Kommst Du nun weiter?
24.10.2005, 18:00	TheSentinel	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke erstmal für deine Antwort. Also ich hab nun mal deinen Ansatz weiterverfolgt bzw. mal selber mein LGS so weitergerechnet. Ich hab nun noch (t-3) gekürzt und dann halt mal geschaut was mit t passieren darf und was net. Ich würde jetzt sagen, dass t eben nicht den Wert $\begin{eqnarray} -\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ annehmen darf, weil man dann ja durch 0 teilen würde. Das heißt dann ja im Endeffekt, dass es für $\begin{eqnarray} t = -\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ keine Lösung gibt, oder? So weiter habe ich dann mal geschaut wann denn $\begin{eqnarray} (t+1)=0 \end{eqnarray}$ ergibt. Das wäre ja dann bei -1. Das heißt bei t=-1 wäre mein z=0. Aber was bedeutet das denn nun für meine Lösungsmengen? Wie gehts denn damit nun weiter?
25.10.2005, 22:14	merlin25	Auf diesen Beitrag antworten »
Also es ist richtig, dass $\begin{eqnarray} t=-\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ nicht definiert ist, da nicht durch Null geteilt werden darf. Du kannst $\begin{eqnarray} (t-3) \end{eqnarray}$ natürlich kürzen, aber es sollte Dir klar sein, dass dann $\begin{eqnarray} t=3 \end{eqnarray}$ ebenfalls nicht definiert ist. Bis jetzt ist also klar, dass das Gleichungssystem für $\begin{eqnarray} t=-\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} t=3 \end{eqnarray}$ nicht gelöst werden kann (keine Lösung). Wenn Du nun mit $\begin{eqnarray} z=\frac{(t+1)}{2 \cdot (t+\frac{1}{2})} \end{eqnarray}$ in die zweite Zeile gehst und y bestimmst erhällst Du: $\begin{eqnarray} y=\frac{-t^2-4t-\frac{3}{2}}{(t+ \frac{1}{2}) \cdot (t-1)} \end{eqnarray}$ Kommst Du nun weiter?
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