Minkowski-Ungl.

24.10.2005, 16:18

havoide

Minkowski-Ungl.

Hi!

Ich weiß nicht, ob ich nur auf der Leitung steht, aber die Minkowskische Ungleichung besagt doch, dass im Raum der Folgen
$\begin{eqnarray*} ||(x)_n + (y)_n||_{lp} \leq ||(x)_n||_{lp} + ||(y)_n||_{lp} \end{eqnarray*}$ gilt.
Dann einige kleine Umformungen, bis da zusammengefasst dasteht:
$\begin{eqnarray*} ||(x)_n + (y)_n||_{lp}^{p} \leq (||(x)_n||_{lp}^{p} + ||(y)_n||_{lp}^{p})||(|x_n + y_n|)||_{lp}^{p-1} \end{eqnarray*}$

Dann dividiert er, falls der letzte Term endlich ist, durch diesen und behauptet, dass dann die Dreiecksungleichung dasteht, aber es steht doch $\begin{eqnarray*} ||(x)_n + (y)_n||_{lp} \leq (||(x)_n||_{lp}^{p} + ||(y)_n||_{lp}^{p}) \end{eqnarray*}$
und das ist doch nicht die Dreiecksungleicung!

Gruß

24.10.2005, 16:59

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RE: Minkowski-Ungl.

Zitat:

Original von havoide
Dann einige kleine Umformungen, bis da zusammengefasst dasteht:
$\begin{eqnarray*} ||(x)_n + (y)_n||_{lp}^{p} \leq (||(x)_n||_{lp}^{p} + ||(y)_n||_{lp}^{p})||(|x_n + y_n|)||_{lp}^{p-1} \end{eqnarray*}$

Dann dividiert er, [...]

Das lässt sich schlecht beurteilen, solange du nicht aufschreibst, wie er (?) zu dieser Ungleichung gekommen ist. Die sieht nämlich ziemlich falsch aus. Vielleicht hast du sie aber auch nur falsch wiedergegeben - fehlender Exponent 1/p , o.ä.

24.10.2005, 18:09

havoide

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Mit er, meinte ich den Autor des Buchs "Elemente der Funktionalanalysis". Falsch angegeben hab ichs nicht, steht so drin: Ich geb das ganze nochmal an, wies im Buch steht, bin mir aber auch mittlerweile ziemlich sicher, dass es einfach falsch drin ist.

$\begin{eqnarray*} ||(x_n+y_n)||_{l_p}^p = ||(|x_n+y_n|^p)||_{l_1} \leq ||(|x_n|)||_{l_p} ||(|x_n+y_n|^{p-1})||_{l_q} + ||(|y_n|)||_{l_p} ||(|x_n+y_n|)^{p-1}||_{lq} <br /> =(||x_n||_{l_p}^p + ||(y_n)||_{l_p}^p) ||(|x_n+y_n|)||_{l_p}^{p-1} \end{eqnarray*}$
mit 1/p+1/q=1

24.10.2005, 19:11

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Der erste Teil ist richtig, soll wohl mit der Dreiecksungleichung in $\begin{eqnarray*} L^1 \end{eqnarray*}$ (die du wohl bereits kennst und verwenden darfst) sowie der Hölder-Ungleichung begründet werden (was du unterschlagen hast):

$\begin{eqnarray*} \|x_n+y_n\|_{l_p}^p &=& \| |x_n+y_n|^p \|_{l_1} \leq \| (|x_n|+|y_n|) \cdot |x_n+y_n|^{p-1} \|_{l_1} \leq \| |x_n|\cdot |x_n+y_n|^{p-1} \|_{l_1} + \| |y_n|\cdot |x_n+y_n|^{p-1} \|_{l_1}\\ &\leq& \| x_n \|_{l_p} \cdot\| |x_n+y_n|^{p-1} \|_{l_q} + \| y_n \|_{l_p} \cdot \| |x_n+y_n|^{p-1} \|_{l_q} \end{eqnarray*}$

Aber dann wird anscheinend die Abschätzung

$\begin{eqnarray*} \| x_n \|_{l_p} + \| y_n \|_{l_p} \leq \| x_n \|_{l_p}^p + \| y_n \|_{l_p}^p \end{eqnarray*}$

verwendet, und das ist i.a. falsch.

24.10.2005, 19:21

havoide

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Ja, deine Vermutungen stimmen (Hölder und L1 Dreiecksungleichung). Und die Berechnungen sind tatsächlich falsch, die der Autor hier durchführt, habs schon richtig gefunden. Auf jeden Fall, danke smile

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