Erwartungswert einer Wahrscheinlichkeitsverteilung

24.10.2005, 17:40	Lvy	Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswert einer Wahrscheinlichkeitsverteilung Hallo! HAb da ne Aufgabe: beim roulette braucht man nicht unbedingt auf eine der 37 Zahlen 0,1,2,...36 zu setzen. Man kann z.B. auch auf die Farbe Rot oder Schwarz setzen. Bleibt die Kugel auf einer der 18 Roten Fächer stehen, dann erhält man das Doppelte des Einsatzes zurückgezahlt. Ist das fair? Berechne den ERwartungswert der Zufallsgröße X: Gewinn beim Setzen auf Rot. Ich sitz schon seit ner Stunde und bin am Grübeln... aber mir fällt kein Lösungsweg ein.. Kann mir bitte jemand helfen?!! Dankeschön
24.10.2005, 18:42	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Nennen wir einmal den Einsatz $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ (das ist ein konstanter Wert in €). Wenn $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ den Gewinn bezeichnet, so kann $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ zwei Werte annehmen, nämlich $\begin{eqnarray} X = \begin{cases} a & \text{falls Rot gewinnt} \\ -a & \text{falls Rot nicht gewinnt} \end{cases} \end{eqnarray}$ Der erste Fall entsteht so: Du zahlst vor dem Spiel auf jeden Fall den Betrag $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ ein, das ist für dich ein Verlust, also der vorläufige negative Gewinn $\begin{eqnarray} -a \end{eqnarray}$ . Weil du aber gewinnst, erhältst du $\begin{eqnarray} 2a \end{eqnarray}$ ausgezahlt, das macht den Gesamtgewinn $\begin{eqnarray} -a+2a = a \end{eqnarray}$ aus. Und wie das $\begin{eqnarray} -a \end{eqnarray}$ im zweiten Fall zustande kommt, kannst du dir jetzt selbst erklären. Und jetzt berechne den Erwartungswert von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ (indem du jeden möglichen Wert mit der Wahrscheinlichkeit, mit der er angenommen wird, multiplizierst und dann die Werte addierst). Wenn der Erwartgunswert 0 ist, dann ist das Spiel fair.
24.10.2005, 19:10	Lvy	Auf diesen Beitrag antworten »
Also das mit dem 2a und -a hab ich jetzt verstanden, danke! Aber den zweiten Schritt mit dem Erwartungswert versteh ich noch nicht so ganz! Was muss ich denn da addieren?! Und woher kenne ich die Wahrscheinlichkeit? danke nochmal
24.10.2005, 19:18	Lvy	Auf diesen Beitrag antworten »
wäre für a dann die wahrscheinlichkeit 1/18 und für -a 1/19, also größeR??
24.10.2005, 19:54	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Laplace-Wahrscheinlichkeit für $\begin{eqnarray} A = \text{"rot"} \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} P(A) = \frac{\text{Anzahl der für } A \text{ günstigen Fälle}}{\text{Anzahl der möglichen Fälle}} \end{eqnarray}$ Und in wieviele Löcher kann die Kugel nun fallen (Nenner), wie viele davon sind rot (Zähler)? So bekommst du die Wahrscheinlichkeit, mit der $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ den Wert $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ annimmt. Kontrollrechnung: Die Summe der beiden Wahrscheinlichkeiten (für $\begin{eqnarray} X=a \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} X=-a \end{eqnarray}$ ) muß 1 ergeben.

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