nach f(x) = a*sin(x + b)

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blafu Auf diesen Beitrag antworten »
nach f(x) = a*sin(x + b)
Hallo,

koennte mir jemand vielleicht Schritt fuer Schritt zeigen, wie ich die Funktion
f(x) = 2sin x - 3cos x in die Form f(x) = a*sin(x + b) umwandeln kann? Ich habe zwar ein Beispiel, das verstehe ich jedoch nicht so recht.

Danke.

P.S.: Ich hoffe, dass das das richtige Unterforum dafuer ist.
blafu Auf diesen Beitrag antworten »

Kann mir niemand helfen? :/
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Nur das Verfahren?

Wenn und die Vorfaktoren von Sinus uns Kosinus sind, dann ist



und es gilt



Aus diesen Gleichungen bestimmst du den Quadranten (also das Viertel des Intervalls ), in dem liegen muss, indem du jeweils die rechte Seite ausrechnest und du über die Vorzeichentabelle auf den Quadranten schließt.





Dann kannst du eine der beiden Gleichungen verwenden um zu bestimmen. Dieses musst du dann in den richtigen Quadranten legen. Nimmst du die Gleichung mit dem Tangens und dein Taschenrechner gibt dir Werte aus als Ergebnisse der Arkustangensfunktion (wie es üblich ist), tust du das, indem du ggf. noch zu addierst.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Oder kürzer formuliert:

Man transformiert einfach den Punkt in Polarkoordinaten, mit Radius und Winkel .

Das haben die meisten TR nämlich auch drauf. Augenzwinkern
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn mein Mathelehrer nicht die Angewohnheit hätte mir Punkte abzuziehen, wenn ich einen Alternativweg mit Nichtschulstoff beschreite... (Wenn ich ihn herleiten würde vielleicht nicht, aber dann nehme ich gleich den "konventionellen" Weg.)
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Sind denn Polarkoordinaten kein Schulstoff? Und



kann man dann eigentlich ansehen, dass es sich um Polarkoordinaten handelt.
 
 
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
Sind denn Polarkoordinaten kein Schulstoff?

Ohne jetzt die Hand dafür ins Feuer legen zu wollen: Ich glaube, nein. (Vielleicht ganz am Ende von 13.2, wenn es um komplexe Zahlen geht...)
Bakatan Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht schon etwas länger her, aber der Thread wurde letztlich verlinkt:
Kann mir das Verfahren jemand genauer erklären?

Ich hänge besonders an der Frage, wieso sich m*sin(x)+n*cos(x) immer als a*sin(x+b) darstellen lässt. Ich kann mir zwar denken, dass die Funktion mit einer gewissen Amplitude schwingt, aber ob das jetzt genau eine Sinusschwingung ist kann ich nicht ausmachen.
Ausserdem sehe ich zwar, dass und somit wegen der Verschiebung die Zusammensetzung eben maximal die Hypotenuse vom Rechtwinkligen Dreieck mit diesen Seiten ergibt, verstehe aber nicht genau warum.
Bei f(x)=sin(x)+cos(x) kann ich mir das noch vorstellen, die Funktion ist bei f(0)=1 und da der Sinus hier gerade maximale Steigung hat ( cos(0)=1 ), also die insgesamte Steigung positiv ist, wird die Funktion weiter wachsen bis sin(x)=cos(x). Aber jetzt diskutiere ich praktisch schon die Funktion. Man kann das sicherlich nachrechnen, aber gibt es nicht auch eine simple geometrische Anschauung, die das erklärt? Mein erster Gedanke wäre Vektoraddition, aber irgendwie bin ich mir nicht wirklich sicher.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bakatan
aber ob das jetzt genau eine Sinusschwingung ist kann ich nicht ausmachen.

Ob du es nun ausmachst oder nicht - es ist so. Auf dein letztes Beispiel bezogen ergibt die Rechnung mit obiger Methode

.


Zitat:
Original von Bakatan
Mein erster Gedanke wäre Vektoraddition, aber irgendwie bin ich mir nicht wirklich sicher.

Nicht schlecht - Addition komplexer Zahlen ist noch treffender, so rechnen die Wechselstromtechniker: Schwingungen gleicher Frequenz werden durch Amplitude und Phasenverschiebung beschrieben, was der komplexen Zahl in Polardarstellung entspricht. Die Überlagerung mehrerer solcher Schwingungen gleicher Frequenz entspricht dann der Summe dieser komplexen Zahlen - obiges Beispiel:



Summe: , rückkonvertiert zur Schwingung .
Bakatan Auf diesen Beitrag antworten »

ok - aber bei fast allen mathematischen Dingen gibt es normalerweise einen anschaulichen Erklärungsversuch. Gibt es so etwas auch hierzu?

Das Verständnis bei der Berechnung von a hängt bei mir auch etwas. Im Moment erkläre ich es mir so:
Die maximale Strecke für den Kosinus oder Sinus ist 1. Durch die Phasenverschiebung um ergibt sich aber praktisch eine vektorielle Addition, d.h. der Betrag der maximalen Länge ist eben - Das entspricht dann der oberen Variante:
[attach]11271[/attach]
In der unteren ist die Phasenverschiebung 0, z.B. m*cos(x)+n*cos(x)

Da stellt sich mir jedoch die Frage, wie es denn nun aussieht, wenn es ist. Denn nun ist die Verschiebung nicht mehr zwangsweise und die Berechnung kann nicht mehr so normal funktionieren?

PS: Sorry für die Bildqualität, ich habe hier atm nur Paint Augenzwinkern
PPS: Wieso funktioniert das Einfügen bei .bmp nicht? Ich musste es extra in .jpg umwandeln, damit es erschien, und nicht als herunterladbare Datei angehängt wurde.

edit: Oh da ist wohl ein Zusatz erschienen, den ich nicht bemerkt habe. Werde ihn lesen, vielleicht hilft er ja bereits weiter.
edit2: nicht pi/4 natürlich, sondern pi/2

edit3: In der Tat beantwortet der Zusatz bereits eine Menge meiner Probleme. Jetzt muss ich mich wohl nur noch eine Weile hinsetzen und an meiner Vorstellung des Ganzen arbeiten.
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