Problem mit Mengenbeweis

25.10.2005, 12:18

Quovadis Mathematica

Problem mit Mengenbeweis

$\begin{eqnarray*} A,B \subseteq M \end{eqnarray*}$

Ich soll folgendes beweisen. $\begin{eqnarray*} A \times B = B \times A \rightarrow A=B \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A=\{x\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B=\{y\} \end{eqnarray*}$

Die Produktmenge ist die Menge aller Paare, deren erstes Glied zu A und deren zweites Glied zu B gehört. In diesem Fall also {x,y}.

Ist denn {x,y} das gleiche wie {y,x} oder nicht?

Demnach wären ja dann $\begin{eqnarray*} x \in A \wedge y \in B = y \in B \wedge x \in A \Rightarrow A=B \end{eqnarray*}$ ?

Oder reicht das nicht aus als Beweis?

Gruß. Wink

25.10.2005, 13:08

Tobias

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Die Produktmenge ist die Menge aller Paare. Ein Paar ist ein Zweitupel $\begin{eqnarray*} (a, b) \end{eqnarray*}$ und es gilt:

$\begin{eqnarray*} (a,b) \neq (b, a) \end{eqnarray*}$

Ein Paar ist keine Menge wie $\begin{eqnarray*} \{ x, y\} \end{eqnarray*}$ , denn in Mengen kommt es gerade nicht auf die Reihenfolge an.

Die (eine) Definition vom Kreuzprodukt ist:

$\begin{eqnarray*} A \times B = \left\{ (a, b) \; | \; a \in A, \; b \in B \right\} \end{eqnarray*}$

25.10.2005, 13:16

Pinky2110

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Dann habe ich also die beiden Paare (x,y) und (y,x). sollen die gleich sein, muss x=y sein und damit A=B?

25.10.2005, 18:10

Tobias

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Du darfst A und B nicht einfach auf ein Element beschränken. Du musst es allgemein beweisen.

25.10.2005, 18:20

papahuhn

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RE: Problem mit Mengenbeweis

Zitat:

Ich soll folgendes beweisen:

Ich frag mich, wie man was falsches beweisen soll.

25.10.2005, 20:00

Moeki

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Vielleicht soll er es ja auch wiederlegen? Z.B. durch ein Gegenbeispiel.

Jedenfalls sind die Produktmengen nur gleich, wenn die Mengen gleich sind. Kann man sich ja überlegen. Keine Ahnung, wie man das mathematisch korrekt formuliert.

25.10.2005, 20:10

irre.flexiv

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Der Beweis ist nicht schwer.

Für ein $\begin{eqnarray*} (a,b) \in A \times B \end{eqnarray*}$ folgt mit der Vor. das $\begin{eqnarray*} (a,b) \in B \times A \end{eqnarray*}$ .

Tja daraus folgen jetzt 2 Teilmengenbeziehungen die zusammen A=B ergeben Augenzwinkern

25.10.2005, 20:11

papahuhn

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Zitat:

Original von Moeki
Jedenfalls sind die Produktmengen nur gleich, wenn die Mengen gleich sind.

Das stimmt nicht.

26.10.2005, 07:17

Moeki

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Was denn nun?

26.10.2005, 10:26

papahuhn

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irre.flexivs Beweisversuch setzt implizit voraus, dass zu jedem $\begin{eqnarray*} a \in A \end{eqnarray*}$ ein Tupel $\begin{eqnarray*} (a,\cdot) \end{eqnarray*}$ existiert, so dass man die Vertauschungsbedingung ausnutzen kann.
Überleg mal, warum das leider nicht geht.

26.10.2005, 17:03

irre.flexiv

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Ja richtig der Beweis setzt voraus das $\begin{eqnarray*} A \times B \not= \phi \end{eqnarray*}$ ist.

26.10.2005, 19:02

Moeki

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$\begin{eqnarray*} A \times B = \{(x,y)| x \in A \wedge y \in B\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B \times A = \{(y,x)| y \in B \wedge x \in A\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x,y) \neq (y,x) \end{eqnarray*}$ gilt im Allgemeinen.

Da aber $\begin{eqnarray*} A \times B = B \times A \end{eqnarray*}$ sein soll, folgt daraus, dass x=y und somit A=B.

26.10.2005, 19:29

irre.flexiv

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Nein, das stimmt nicht!

Selbst wenn $\begin{eqnarray*} A \times B = B \times A \end{eqnarray*}$ folgt doch nicht für irgendwelche Tupel das $\begin{eqnarray*} (x,y) =(y,x) \end{eqnarray*}$ ist.
Gegenbeispiel : $\begin{eqnarray*} A = B = \{0,1\} \end{eqnarray*}$

Ein Gegenbeispiel für die eigentliche Aussage ist
$\begin{eqnarray*} A=\{\}, \quad B=\{1\} \end{eqnarray*}$

26.10.2005, 19:30

papahuhn

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Zitat:

Original von Moeki
$\begin{eqnarray*} A \times B = \{(x,y)| x \in A \wedge y \in B\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B \times A = \{(y,x)| y \in B \wedge x \in A\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x,y) \neq (y,x) \end{eqnarray*}$ gilt im Allgemeinen.

Da aber $\begin{eqnarray*} A \times B = B \times A \end{eqnarray*}$ sein soll, folgt daraus, dass x=y und somit A=B.

Wie irre.flexiv bereits angemerkt hat, gilt dies nur für ein nichtleeres Produkt.
$\begin{eqnarray*} M \times \emptyset = \emptyset = \emptyset \times M \end{eqnarray*}$ für alle Mengen M. Somit ist z.b. $\begin{eqnarray*} \mathbb N \times \emptyset = \emptyset \times \mathbb N \end{eqnarray*}$ . Und es sollen in der Wildnis tatsächlich natürliche Zahlen gesichtet worden sein.

Edit: Da war ich wohl ein wenig zu spät.

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