Ring, Teilbarkeit: Gegenbeispiel gesucht

15.04.2008, 09:57	Biene1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ring, Teilbarkeit: Gegenbeispiel gesucht Hi, mir fällt irgendwie kein Gegenbeispiel zu folgendem ein: Sei $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ ein Ring, $\begin{eqnarray} x,y \in R, (x,y) \neq (0,0) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g := ggT(x,y) \in R \end{eqnarray}$ . Wenn wie oben $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ kein Hauptidealring ist, so existieren i.a. keine $\begin{eqnarray} a,b \in R \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} g = ax + by \end{eqnarray}$ . Ich kann es zwar etwas schwabbelig formulieren, weil dann für das von x und y erzeugte Ideal eben kein g existieren muß mit $\begin{eqnarray} (x,y) = (g) \end{eqnarray}$ ... Aber mir fällt kein richtiges Gegenspiel ein
15.04.2008, 13:14	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
Mal schauen... Wir sind in $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ Es gilt $\begin{eqnarray} g\in\operatorname{ggT}(a,b) \Leftrightarrow \left\langle a,b \right\rangle_{\mathbb Z}=\langle g \rangle_{\mathbb Z} \end{eqnarray}$ Dies bedeutet das das Ideal von a,b gleich dem Ideal von g ist, also von einem Element ereugt wird. Dies ist auch nur Recht und Billig, Z ist ja ein Hauptidealring. In einem Nichthauptidealring gilt das aber nicht für alle Ideale.

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