gewöhnliche Diff. Gleichungen

15.04.2008, 12:23

Cidburner

gewöhnliche Diff. Gleichungen

huhu
ich hab folgende aufgaben und weiß nicht so recht wie ich sie lösen soll, wir haben erst angefangen mit dem thema, lösungsverfahren: trennung der variable,

Aufgabe : Man löse folgende GDGlen

1.y'=(x+y)^2

2.y'*sinx = y+1 - cosx

hat da jmd einen tip für mich?,

ich nehem an das ich bei 1. die gleichung auf den typ x' = f(x/t) bringen muss. aber selbst durch ausmultiplizieren bei1 und ausklammern komme ich nicht ganz drauf, hat jmd einen tipp?!?

15.04.2008, 12:59

Auf diesen Beitrag antworten »

Zu 1) Versuch's doch mal mit der naheliegenden Substitution $\begin{eqnarray*} z=x+y \end{eqnarray*}$

15.04.2008, 13:25

Cidburner

Auf diesen Beitrag antworten »

ah ok, d.h also z=x+y

y'=(z)^2 und y' muss ich auch noch bekommen aus der gleichung y=z-x dann ist y'= z'- 1 und ich habe z'=z^2 + 1 und dann einfach mit trennung der variablen arbeiten?!?

dz/dx ....... und dann am ende einfach rücksub. !? ist das so korrekt?

zu aufgabe 2 hast du da noch sonen guten tipp für mich ?! smile

15.04.2008, 13:57

Cidburner

Auf diesen Beitrag antworten »

ich hab noch ein kleines problem

ich habe folgende aufgabe, löse das anfangswertproblem

y'=x^2/y^3 y(0)=1 , y(0)=-1

ich komme für c auf folgende gleichung

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}y^{4}-\frac{1}{3}x^{3}=C \end{eqnarray*}$

damit ist mein c immer 1/4 , ist das richtig so?!? das lklingt mir zu einfach..?!?!

15.04.2008, 14:25

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist aber so einfach.

15.04.2008, 14:35

Cidburner

Auf diesen Beitrag antworten »

ah ok danke, Big Laugh

, nochmal die nachfrage hat jmd einen tipp für y'*sinx = y+1 - cosx

15.04.2008, 14:53

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Cidburner
y'=(z)^2 und y' muss ich auch noch bekommen aus der gleichung y=z-x dann ist y'= z'- 1 und ich habe z'=z^2 - 1

Vorzeichenfehler! Du hast $\begin{eqnarray*} z'-1=z^2 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} z'=z^2+1 \end{eqnarray*}$ .

15.04.2008, 14:58

Cidburner

Auf diesen Beitrag antworten »

ah danke , habs geändert smile

aufn zettel stands richtig ....

15.04.2008, 15:34

Cidburner

Auf diesen Beitrag antworten »

da das hier so gut läuft hätte ich noch ne aufgabe Big Laugh

und zwar lautet sie

x * y'- y= y * y'

das hab ich umgeformt zu y'= - y / ( y - x) dann habeich x ausgeklammert bleibt

= - y/x / ( y/x - 1) , dann habe ich u = y/x gesetzt

dann komme ich auf die gleichung

u'+u = -u / (u - 1), dann habe ich nach u' umgestellt und angefangen mit integrieren...

bin ich auf dem richtigen weg?! oder geht das einfacher umzustellen?

PS. für nen kleinen tipp bei der anderen aufgabe bin ich immernoch zu haben Augenzwinkern

15.04.2008, 15:47

Auf diesen Beitrag antworten »

Woher kommt das u'+u ?

Wenn du $\begin{eqnarray*} u=\frac{y}{x} \end{eqnarray*}$ substituierst, dann wird daraus $\begin{eqnarray*} y=ux \end{eqnarray*}$ und folglich $\begin{eqnarray*} y' = u'x+u \end{eqnarray*}$ .

----------------

Zu $\begin{eqnarray*} y' \cdot \sin x = y+1 - \cos x \end{eqnarray*}$ :

Erst die homogene Gleichung $\begin{eqnarray*} y' \cdot \sin x = y \end{eqnarray*}$ lösen. Dann eine partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung finden, z.B. mit Variation der Konstanten.

15.04.2008, 16:03

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mich auch etwas schwer getan. Mit z = x/y kommt man am Ende auf

ln(z) - z = ln(x) + c. (EDIT: Oder anders: $\begin{eqnarray*} ze^{-z} = cx. \end{eqnarray*}$ )

Nun kann man doch bestimmt irgendwie die Lambert-W-Funktion anwenden, oder Arthur? Augenzwinkern

15.04.2008, 16:11

Cidburner

Auf diesen Beitrag antworten »

ja hast auch da recht, habe ein x vergessen,

die lösungsverfahren sind mir noch nicht bekannt, glaube die kommen nächste woche bei uns dran :P, deswegen denke ich das es noch eine andere lösung gibt.

dank trotzdem erstmal an alle für die antworten

mit der substitution schaue ich eben nochmal

15.04.2008, 16:21

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Cidburner
die lösungsverfahren sind mir noch nicht bekanntl

Überhaupt noch keine Lösungsverfahren für lineare DGL erster Ordnung kennengelernt? Weder für homogene noch inhomogene? Dann erstaunt mich diese Aufgabe zum jetzigen Zeitpunkt. verwirrt

15.04.2008, 17:04

Cidburner

Auf diesen Beitrag antworten »

hm jo, prof sagte mit linearen gdg gehts nächste woche los, bis jetzt hatten wir in den vorlesungen und seminaren nur trennung von variablen und das mit den substituieren,...

15.04.2008, 17:25

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Allgemeine Lösung von

y' + ay = b

mit stetigen Funktionen a und b:

$\begin{eqnarray*} y = (C(x) + c) e^{-A(x)}, \end{eqnarray*}$

wobei A eine Stammfunktion von a und C eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} be^A \end{eqnarray*}$ ist.

Neue Frage »

Antworten »

gewöhnliche Diff. Gleichungen

Verwandte Themen