Stecke bei einer Induktion fest...

15.04.2008, 18:33

Ripper1986

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Stecke bei einer Induktion fest...

ich weiß nicht ob ich irgendwo einen Fehler gemacht habe aber momentan stecke ich echt fest.. ich soll beweisen, dass...

x^(2m+2)^(n+1)

das gleiche ist wie

x^(m+1)

Ist das überhaupt möglich? Meiner meinung nach nicht... ich habe mal eine gescannte version angehangen... dann muss ich nicht wieder stunden in Latex rumsuchen ;-)! vielleicht kann mir ja jemand helfen und mir sagen was ich falsch gemacht habe!!

LG
FELIX

*edit*
das mit dem bild klappt irgendwie nicht... ich schriebe einfach mal den link:
http://img518.imageshack.us/my.php?image=img005lu5.gif

*edit die 2.*
oben das klingt vielleicht ein bisschen blöde... ich weiß natürlich dass man nicht zeigen kann dass es sich um das gleiche handelt weil wir einmal ein n in dem term haben... ich weiß aber nicht was ich falshc gemacht habe.. ist vielleicht besser wenn ich das so sage... bis jetzt haben sich überflüssige immer rausgekürzt und somit entstand das problem nicht.. ich ha ejetzt ein paar std mit der aufgabe verbracht.. sie mit allen möglichen sachen verglichen.. komme aber nicht weiter!

15.04.2008, 19:54

Ambrosius

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ist der Induktionsanfang nicht schon falsch?

Die Aufgabe ist, dass du zeigen sollst
$\begin{eqnarray*} \prod\limits_{k=0}^{n-1}~(1+ (x^2)^k) = \sum\limits_{k=0}^{2n-1}~x^k \end{eqnarray*}$

richtig?

nehmen wir mal n=1:

linke Seite:
$\begin{eqnarray*} \prod\limits_{k=0}^{0}~(1+ x^{2k}) = 1 + x^0 = 2 \end{eqnarray*}$

Rechte Seite:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{1}~x^k = x^0 + x = 1 + x \end{eqnarray*}$

15.04.2008, 20:00

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Zitat:

Original von Ambrosius
Die Aufgabe ist, dass du zeigen sollst
$\begin{eqnarray*} \prod\limits_{k=0}^{n-1}~(1+ (x^2)^k) = \sum\limits_{k=0}^{2n-1}~x^k \end{eqnarray*}$

Nein. Die Behauptung lautet

$\begin{eqnarray*} \prod\limits_{k=0}^{n-1}~\left( 1+ x^{2^k} \right) = \sum\limits_{k=0}^{2^n-1} ~ x^k \end{eqnarray*}$

Ist wohl etwas undeutlich geschrieben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.04.2008, 20:05

WebFritzi

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Mal wieder einer, der die Aufgabe falsch abschreibt. unglücklich

unglücklich

Es ist zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} \prod\limits_{k=0}^{n-1}~(1+ {x^2}^k) = \sum\limits_{m=0}^{2^n-1}~x^m. \end{eqnarray*}$

15.04.2008, 20:08

Leopold

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Denk an die dritte binomische Formel. Wie sieht das denn bei einer Zweierpotenz als Exponent aus?

$\begin{eqnarray*} x^{32} - 1 = \left( x^{16} - 1 \right) \left( x^{16} + 1 \right) = \left( x^8 - 1 \right) \left( x^8 + 1 \right) \left( x^{16} + 1 \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \left( x^4 - 1 \right) \left( x^4 + 1 \right) \left( x^8 + 1 \right) \left( x^{16} + 1 \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \left( x^2 - 1 \right) \left( x^2 + 1 \right) \left( x^4 + 1 \right) \left( x^8 + 1 \right) \left( x^{16} + 1 \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \left( x - 1 \right) \left( x + 1 \right) \left( x^2 + 1 \right) \left( x^4 + 1 \right) \left( x^8 + 1 \right) \left( x^{16} + 1 \right) \end{eqnarray*}$

Und wenn du jetzt nach den Klammern mit dem Pluszeichen auflöst ...

15.04.2008, 20:21

WebFritzi

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Soll das jetzt ein Induktionskiller sein? Nicht so wirklich, oder?

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15.04.2008, 20:42

Ripper1986

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die 1000.fache auflösung nach der 3. binomischen regel klingt gut.. aber ich kann doch gar nichts auflösen weil ich doch immer eine "doppelpotenz" (oder wie sich so etwas nennt) habe! kann mit vlt jemand sagen wo ich den fehler gemacht habe bei meiner induktion!?

zum schluss habe ich einen vorzeichenfehler gemacht und beim induktionsanfang habe ich mich beim "schön abschrieben" auch verschrieben aber sonst finde ich den fehler nicht...

15.04.2008, 20:44

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Lad doch mal das Bild hier ins Board hoch. Diese imageshit-Webseite braucht einfach ewig...

15.04.2008, 20:45

Ripper1986

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sag mir wie und ich mach es

15.04.2008, 20:47

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Beitrag erstellen -> Dateianhänge -> Durchsuchen -> Speichern.

15.04.2008, 20:49

Ripper1986

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danke,

hier ist es!

15.04.2008, 20:53

AD

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Bis zu $\begin{eqnarray*} \sum_{m=0}^{2^n-1} x^m \cdot \left( 1 + x^{2^{n+1}} \right) \end{eqnarray*}$ ist alles richtig, bis auf die falsche oder zumindest in deinem Scan verschmierte obere Summengrenze. Also nochmal, da steht $\begin{eqnarray*} 2^n-1 \end{eqnarray*}$ , nicht $\begin{eqnarray*} 2n-1 \end{eqnarray*}$ .

Dann wird es aber falsch: Ausmultipliziert ergibt sich nicht $\begin{eqnarray*} \sum_{m=0}^{2^n-1} x^m \cdot x^{m+2^{n+1}} \end{eqnarray*}$ , sondern selbstverständlich $\begin{eqnarray*} \sum_{m=0}^{2^n-1} \left( x^m + x^{m+2^{n+1}} \right) \end{eqnarray*}$ !!!

15.04.2008, 20:57

Ripper1986

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das habe ich doch genau so, oder :-S

15.04.2008, 20:59

Ripper1986

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sorry.... ich habe es gesehen....

das war ja der fehler den ich oben schon beschrieben habe! aber auch wenn ich es dann so schreibe wie du es schreibst stecke ich fest...

15.04.2008, 21:07

AD

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Ok, noch ein Fehler: Im Induktionsschritt $\begin{eqnarray*} n\to (n+1) \end{eqnarray*}$ ist links nicht der Term $\begin{eqnarray*} \left( 1 + x^{2^{n+1}} \right) \end{eqnarray*}$ der neue anzufügende Faktor, sondern $\begin{eqnarray*} \left( 1 + x^{2^n} \right) \end{eqnarray*}$ .

15.04.2008, 21:09

Ripper1986

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oh man... ja klar...... das hebt sich ja auf mit dem "-1"

vielen herzlichen dank soweit ;-)

15.04.2008, 21:14

AD

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Nach dieser Korrektur ergibt das dann

$\begin{eqnarray*} \sum_{m=0}^{2^n-1} \left( x^m + x^{m+2^n} \right) = \left( \sum_{m=0}^{2^n-1} x^m \right) + \left( \sum_{m=0}^{2^n-1} x^{m+2^n} \right) \end{eqnarray*}$

Und bei der zweiten Summe letztlich nur noch eine Indexverschiebung $\begin{eqnarray*} j=m+2^n \end{eqnarray*}$ durchführen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{m=0}^{2^n-1} x^{m+2^n} = \sum_{j=2^n}^{2^n+2^n-1} x^j \end{eqnarray*}$ .

15.04.2008, 21:27

Ripper1986

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muss man das mit einer "indexverschiebung" machen? davon habe ich bis jetzt gerade noch nichts gehört :-S

und auch wenn ich dies so machen würde hätte ich ja nicht das gewünschte/benötigte ergebnis von:

$\begin{eqnarray*} \sum_{m=0}^{2^n-1} {x^{m+1}} \end{eqnarray*}$

oder seh ich das falsch?

15.04.2008, 21:54

WebFritzi

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Zitat:

Original von Ripper1986
und auch wenn ich dies so machen würde hätte ich ja nicht das gewünschte/benötigte ergebnis von:

$\begin{eqnarray*} \sum_{m=0}^{2^n-1} {x^{m+1}} \end{eqnarray*}$

oder seh ich das falsch?

Nein, das siehst du richtig. Aber das ist ja auch nicht das, was du rausbekommen willst...

15.04.2008, 22:02

Ripper1986

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ich weiß nicht ob ich dich richtg verstehe aber warum ist

$\begin{eqnarray*} \sum_{m=0}^{2^n-1} {x^{m+1}} \end{eqnarray*}$

nicht das was ich herausbekommen möchte?
oder meintest du, dass ich mit athurs rechenschritt den er gepostet hat noch nicht am ende bin?

16.04.2008, 01:36

WebFritzi

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Zitat:

Original von Ripper1986
ich weiß nicht ob ich dich richtg verstehe aber warum ist

$\begin{eqnarray*} \sum_{m=0}^{2^n-1} {x^{m+1}} \end{eqnarray*}$

nicht das was ich herausbekommen möchte?

Hast du da n+1 für n eingesetzt? Nein.

16.04.2008, 18:09

Ripper1986

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okay, nach langer diskusion in der uni heute sind wir dann zum ergebnis gekommen ;-)! wundert mich nur, dass ich noch nie gehört/gesehen habe dass man das einfach so machen darf ;-) vielen dank für die hilfe an alle die geholfen haben!!

mein ergebnis:

$\begin{eqnarray*} \sum_{m=0}^{2^{n+1}-1} {x^{m}} \end{eqnarray*}$

LG,
felix

16.04.2008, 22:07

AD

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Zitat:

Original von Ripper1986
okay, nach langer diskusion in der uni heute sind wir dann zum ergebnis gekommen ;-)

Und mich wundert, dass es noch einer langen Diskussion bedurfte. War doch soweit alles geklärt gestern abend hier im Thread, oder nicht? verwirrt

verwirrt

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